题目

2.设X_(1),X_(2),...,X_(30)是来自正态总体N(mu,sigma^2)的一组样本，其中sigma^2未知，则mu的置信度为0.9的置信区间为______.

2.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{30}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的一组样本，其中$\sigma^{2}$未知，则$\mu$的置信度为0.9的置信区间为______.

题目解答

答案

为了找到正态总体$N(\mu, \sigma^2)$中$\mu$的置信度为0.9的置信区间，其中$\sigma^2$未知，我们使用t分布。样本均值$\bar{X}$和样本标准差$S$的公式为： \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \] \[ S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2} \] $\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间由下式给出： \[ \bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \] 其中$t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的上$\alpha/2$分位数，自由度为$n-1$。对于本题，$n = 30$且置信度为0.9，所以$\alpha = 1 - 0.9 = 0.1$且$\alpha/2 = 0.05$。因此，我们需要找到$t_{0.05, 29}$。使用t分布表或计算器，我们发现$t_{0.05, 29} \approx 1.6991$。将所有部分组合在一起，$\mu$的置信度为0.9的置信区间为： \[ \bar{X} \pm 1.6991 \frac{S}{\sqrt{30}} \] 因此，答案是： \[ \boxed{\left( \bar{X} - t_{0.05, 29} \frac{S}{\sqrt{30}}, \bar{X} + t_{0.05, 29} \frac{S}{\sqrt{30}} \right)} \] 或者更具体地： \[ \boxed{\left( \bar{X} - 1.6991 \frac{S}{\sqrt{30}}, \bar{X} + 1.6991 \frac{S}{\sqrt{30}} \right)} \]

解析

本题考察正态总体均值的置信区间估计，当总体方差未知时的情况。核心知识点知识点为t分布的应用，具体步骤如下：

步骤1：确定基本量

样本容量 $n = 30$，来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 未知
置信度 $1 - \alpha = 0.9$，故 $\alpha = 0.1$，$\alpha/2 = 0.05$

步骤2：选择统计量

因 $\sigma^2$ 未知，用样本标准差 $S$ 替代总体标准差 $\sigma$，统计量为：
$t = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$
其中 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$（样本均值），$S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}$（样本标准差），自由度 $df = n-1 = 29$

步骤3：确定分位数

查t分布表或计算得 $t_{\alpha/2, n-1} = t_{0.05, 29} \approx 1.6991$

步骤4：构建置信区间

根据t分布的分位数定义，$P(-t_{\alpha/2, n-1} < t < t_{\alpha/2, n-1}) = 0.9$，代入统计量得：
$P\left( \bar{X} - t_{0.05, 29}\frac{S}{\sqrt{30}} < \mu < \bar{X} + t_{0.05,29}\frac{S}/\sqrt{30} \right) = 0.9$