题目

若 3alpha + 4beta = (2 1 1 2), 2alpha + 3beta = (-1 2 3 1), 则 alpha + beta = ( ) A (3 -1 -2 1) B (3 -1 1 2) C (3 -1 1 -1) D (3 -1 3 2)

若 $3\alpha + 4\beta = (2 \quad 1 \quad 1 \quad 2)$, $2\alpha + 3\beta = (-1 \quad 2 \quad 3 \quad 1)$, 则 $\alpha + \beta = (\quad)$

A $(3 \quad -1 \quad -2 \quad 1)$

B $(3 \quad -1 \quad 1 \quad 2)$

C $(3 \quad -1 \quad 1 \quad -1)$

D $(3 \quad -1 \quad 3 \quad 2)$

题目解答

答案

题目给出两个向量方程： 1. $3\alpha + 4\beta = (2, 1, 1, 2)$ 2. $2\alpha + 3\beta = (-1, 2, 3, 1)$ 我们需要求解 $\alpha + \beta$。 ### 解析步骤： 1. **将方程组写成矩阵形式**： \[ \begin{cases} 3\alpha + 4\beta = (2, 1, 1, 2) \\ 2\alpha + 3\beta = (-1, 2, 3, 1) \end{cases} \] 2. **消元法求解 $\alpha$ 和 $\beta$**： - 首先，我们将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，以便消去 $\alpha$： \[ \begin{cases} 6\alpha + 8\beta = (4, 2, 2, 4) \\ 6\alpha + 9\beta = (-3, 6, 9, 3) \end{cases} \] - 然后，将第一个方程减去第二个方程： \[ (6\alpha + 8\beta) - (6\alpha + 9\beta) = (4, 2, 2, 4) - (-3, 6, 9, 3) \] \[ -\beta = (7, -4, -7, 1) \] \[ \beta = (-7, 4, 7, -1) \] 3. **代入 $\beta$ 求解 $\alpha$**： - 将 $\beta = (-7, 4, 7, -1)$ 代入第二个方程 $2\alpha + 3\beta = (-1, 2, 3, 1)$： \[ 2\alpha + 3(-7, 4, 7, -1) = (-1, 2, 3, 1) \] \[ 2\alpha + (-21, 12, 21, -3) = (-1, 2, 3, 1) \] \[ 2\alpha = (-1, 2, 3, 1) - (-21, 12, 21, -3) \] \[ 2\alpha = (20, -10, -18, 4) \] \[ \alpha = (10, -5, -9, 2) \] 4. **求解 $\alpha + \beta$**： - 现在我们已经求得 $\alpha = (10, -5, -9, 2)$ 和 $\beta = (-7, 4, 7, -1)$，将它们相加： \[ \alpha + \beta = (10, -5, -9, 2) + (-7, 4, 7, -1) \] \[ \alpha + \beta = (3, -1, -2, 1) \] ### 最终答案： \[ \alpha + \beta = (3, -1, -2, 1) \] 因此，正确答案是 **A (3, -1, -2, 1)**。

解析

考查要点：本题主要考查向量方程组的解法，以及通过线性组合直接求解目标表达式的能力。

解题核心思路：
题目给出两个关于向量$\alpha$和$\beta$的线性方程，要求直接求出$\alpha + \beta$。关键点在于发现$\alpha + \beta$可以通过原方程的线性组合直接表示，无需单独求解$\alpha$和$\beta$。通过构造系数，将两个方程进行线性组合，即可快速得到结果。

破题关键：
观察方程组的系数，找到使得组合后$\alpha$和$\beta$的系数均为1的线性组合方式，从而直接得到$\alpha + \beta$的表达式。

步骤1：构造线性组合
设存在系数$a$和$b$，使得：
$a \cdot (3\alpha + 4\beta) + b \cdot (2\alpha + 3\beta) = \alpha + \beta$
展开后得到：
$(3a + 2b)\alpha + (4a + 3b)\beta = \alpha + \beta$
比较系数得方程组：
$\begin{cases}3a + 2b = 1 \\4a + 3b = 1\end{cases}$

步骤2：解方程组求系数
解方程组：

  1. 从第一式得：$3a + 2b = 1$
  2. 从第二式得：$4a + 3b = 1$

通过消元法可得：
$a = 1$，$b = -1$。

步骤3：代入原方程计算
将$a = 1$，$b = -1$代入原方程的线性组合：
$\alpha + \beta = 1 \cdot (3\alpha + 4\beta) - 1 \cdot (2\alpha + 3\beta)$
代入已知向量：
$\alpha + \beta = (2, 1, 1, 2) - (-1, 2, 3, 1) = (3, -1, -2, 1)$