题目
(2003年)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为______。
(2003年)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为______。
题目解答
答案
正确答案:0.9解析:因为Cov(Y,Z)=Cov(Y,X-0.4)=Cov(X,Y)-Cov(Y,0.4)=Cov(Y,X),且D(Z)=D(X)。于是有ρYZ==ρXY=0.9。
解析
步骤 1：计算协方差
根据协方差的性质，我们有Cov(Y,Z)=Cov(Y,X-0.4)=Cov(Y,X)-Cov(Y,0.4)。由于常数与任何随机变量的协方差为0，即Cov(Y,0.4)=0，因此Cov(Y,Z)=Cov(Y,X)。
步骤 2：计算方差
由于Z=X-0.4，根据方差的性质，我们有D(Z)=D(X-0.4)=D(X)。因为常数的方差为0，所以D(X-0.4)=D(X)。
步骤 3：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有ρYZ==ρXY=0.9。
根据协方差的性质，我们有Cov(Y,Z)=Cov(Y,X-0.4)=Cov(Y,X)-Cov(Y,0.4)。由于常数与任何随机变量的协方差为0，即Cov(Y,0.4)=0，因此Cov(Y,Z)=Cov(Y,X)。
步骤 2：计算方差
由于Z=X-0.4，根据方差的性质，我们有D(Z)=D(X-0.4)=D(X)。因为常数的方差为0，所以D(X-0.4)=D(X)。
步骤 3：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有ρYZ==ρXY=0.9。