题目
多选题设总体sim N(mu ,(sigma )^2) X1,X2,···Xn为来自总体X的样本,sim N(mu ,(sigma )^2) X1,X2,···Xn为样本均值,sim N(mu ,(sigma )^2) X1,X2,···Xn为样本方差,则下列选项中正确的有( )A sim N(mu ,(sigma )^2) X1,X2,···XnB sim N(mu ,(sigma )^2) X1,X2,···XnC sim N(mu ,(sigma )^2) X1,X2,···Xn D sim N(mu ,(sigma )^2) X1,X2,···Xn
多选题
设总体
为来自总体X的样本,
为样本均值,
为样本方差,则下列选项中正确的有( )
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
解：根据已知，可得：
∴B错误，D正确
∵对标准化，可得：
∴A正确
又∵标准正态分布平方和服从卡方分布
∴C错误
∴正确选项为A,D
解析
步骤 1：样本均值的分布
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值$\overline{X}$的分布近似为正态分布，即$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，$\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$的分布为标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 2：样本方差的分布
样本方差$S^2$的分布与卡方分布有关。具体来说，$(n-1)S^2/\sigma^2$的分布为自由度为$n-1$的卡方分布，即$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。因此，选项B中的自由度应为$n-1$，而不是$n$。
步骤 3：t分布
当总体方差未知时，样本均值与总体均值之差除以样本标准差的分布为t分布。具体来说，$\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$的分布为自由度为$n-1$的t分布，即$\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。
步骤 4：卡方分布
对于标准正态分布的平方和，其分布为卡方分布。因此，$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2/\sigma^2$的分布为自由度为$n$的卡方分布，即$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n)$。但是，由于样本均值$\overline{X}$的引入，自由度应为$n-1$，而不是$n$。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值$\overline{X}$的分布近似为正态分布，即$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，$\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$的分布为标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 2：样本方差的分布
样本方差$S^2$的分布与卡方分布有关。具体来说，$(n-1)S^2/\sigma^2$的分布为自由度为$n-1$的卡方分布，即$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。因此，选项B中的自由度应为$n-1$，而不是$n$。
步骤 3：t分布
当总体方差未知时，样本均值与总体均值之差除以样本标准差的分布为t分布。具体来说，$\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$的分布为自由度为$n-1$的t分布，即$\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。
步骤 4：卡方分布
对于标准正态分布的平方和，其分布为卡方分布。因此，$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2/\sigma^2$的分布为自由度为$n$的卡方分布，即$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n)$。但是，由于样本均值$\overline{X}$的引入，自由度应为$n-1$，而不是$n$。