题目

4. [判断题]设X_(1),X_(2),...,X_(10000)是一组独立的且均服从参数λ=0.001的指数分布，当n=10000时，据中心极限定理知，可近似的认为sum_(i=1)^10000X_(i)sim N(10^7,10^6)A. 对B. 错

4. [判断题] 设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{10000}$是一组独立的且均服从参数λ=0.001的指数分布，当n=10000时，据中心极限定理知，可近似的认为$\sum_{i=1}^{10000}X_{i}\sim N(10^{7},10^{6})$

A. 对

B. 错

题目解答

答案

为了判断题目中给出的陈述是否正确，我们需要使用中心极限定理（CLT）和指数分布的性质。让我们一步步来分析。 1. **指数分布的性质:** - 如果 $X_i$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，那么 $X_i$ 的均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 分别为: \[ \mu = \frac{1}{\lambda} \quad \text{和} \quad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} \] - 对于 $\lambda = 0.001$，我们有: \[ \mu = \frac{1}{0.001} = 1000 \quad \text{和} \quad \sigma^2 = \frac{1}{(0.001)^2} = 10^6 \] 2. **随机变量和的均值和方差:** - 如果 $X_1, X_2, \ldots, X_{10000}$ 是独立同分布的随机变量，每个服从参数为 $\lambda = 0.001$ 的指数分布，那么和 $S = \sum_{i=1}^{10000} X_i$ 的均值和方差为: \[ \text{均值 of } S = 10000 \cdot \mu = 10000 \cdot 1000 = 10^7 \] \[ \text{方差 of } S = 10000 \cdot \sigma^2 = 10000 \cdot 10^6 = 10^{10} \] 3. **中心极限定理的应用:** - 根据中心极限定理，对于大量独立同分布的随机变量，它们的和可以近似地服从正态分布。因此，当 $n = 10000$ 时，和 $S$ 可以近似地服从均值为 $10^7$ 和方差为 $10^{10}$ 的正态分布: \[ S \sim N(10^7, 10^{10}) \] 4. **与题目中给出的分布比较:** - 题目中给出的分布是 $N(10^7, 10^6)$。然而，我们根据中心极限定理和指数分布的性质推导出的分布是 $N(10^7, 10^{10})$。 由于方差不匹配，题目中的陈述是错误的。 因此，答案是: \[ \boxed{B} \]

解析

本题考查中心极限定理以及指数分布的性质。解题思路是先根据指数分布的性质求出单个随机变量的均值和方差，再利用独立同分布随机变量和的性质求出$\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}$的均值和方差，最后结合中心极限定理判断$\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}$近似服从的正态分布是否与题目所给一致。

  1. 计算单个指数分布随机变量的均值和方差：
    已知$X_{i}$服从参数为$\lambda = 0.001$的指数分布，根据指数分布的性质，其均值$\mu$和方差$\sigma^{2}$的计算公式分别为$\mu=\frac{1}{\lambda}$和$\sigma^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}$。
    将$\lambda = 0.001$代入公式可得：
    $\mu=\frac{1}{0.001}=1000$
    $\sigma^{2}=\frac{1}{(0.001)^{2}} = 10^{6}$
  2. 计算$\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}$的均值和方差：
    因为$X_{1},X_{2},\cdots,X_{10000}$是独立同分布的随机变量，根据独立同分布随机变量和的性质，$\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}$的均值$E(\sum_{i = 1}^{10000}X_{i})$和方差$D(\sum_{i = 1}^{10000}X_{i})$分别为：
    $E(\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}) = 10000\times\mu = 10000\times1000 = 10^{7}$
    $D(\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}) = 10000\times\sigma^{2} = 10000\times10^{6} = 10^{10}$
  3. 根据中心极限定理确定$\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}$近似服从的正态分布：
    由中心极限定理可知，当$n = 10000$时，$\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}$近似服从正态分布$N(E(\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}),D(\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}))$，即$\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}\sim N(10^{7},10^{10})$。
  4. 判断题目陈述的正确性：
    题目中说$\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}\sim N(10^{7},10^{6})$，而我们通过计算得出$\sum_{i = 1}^{10000}X_{i}\sim N(10^{7},10^{10})$，两者方差不相等，所以题目中的陈述是错误的。