6.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1(元)，1.2(元)，1.5(元)各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5，若售出300只蛋糕，(1)求收入至少为400（元）的概率；(2)求售出价格为1.2（元）的蛋糕多于60只的概率.

考查要点：本题主要考查中心极限定理和正态近似的应用，涉及期望与方差的计算以及二项分布的正态近似。

解题思路：

1. 第一问：将总收入视为独立同分布随机变量之和，利用中心极限定理近似为正态分布，计算收入超过特定值的概率。
2. 第二问：将售出1.2元蛋糕的数量视为二项分布，通过正态近似计算概率，需注意是否使用连续性修正。

破题关键：

• 期望与方差的准确计算是基础。
• 标准化处理是应用中心极限定理的核心步骤。
• 二项分布的正态近似中，是否使用连续性修正会影响结果精度。

第（1）题

定义随机变量与计算期望、方差

设第$i$只蛋糕的价格为$X_i$，则：
$E(X_i) = 1 \times 0.3 + 1.2 \times 0.2 + 1.5 \times 0.5 = 1.29 \, \text{元}$
$E(X_i^2) = 1^2 \times 0.3 + 1.2^2 \times 0.2 + 1.5^2 \times 0.5 = 1.713$
$D(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = 1.713 - 1.29^2 = 0.0489$

应用中心极限定理

总收入$X = \sum_{i=1}^{300} X_i$，其期望与方差为：
$E(X) = 300 \times 1.29 = 387 \, \text{元}, \quad D(X) = 300 \times 0.0489 = 14.67$
标准差$\sigma = \sqrt{14.67} \approx 3.83$元。将$X$标准化：
$P(X \geq 400) = P\left(\frac{X - 387}{3.83} \geq \frac{400 - 387}{3.83}\right) \approx P(Z \geq 3.39)$
查标准正态分布表得$\Phi(3.39) \approx 0.9997$，故：
$P(X \geq 400) \approx 1 - 0.9997 = 0.0003$

第（2）题

定义二项分布与正态近似

设售出1.2元蛋糕的数量为$Y \sim B(300, 0.2)$，均值与方差为：
$\mu = 300 \times 0.2 = 60, \quad \sigma^2 = 300 \times 0.2 \times 0.8 = 48, \quad \sigma = \sqrt{48} \approx 6.93$
标准化后：
$P(Y > 60) = P\left(\frac{Y - 60}{6.93} > \frac{60 - 60}{6.93}\right) = P(Z > 0) = 0.5$
注：此处未使用连续性修正，若使用修正，结果约为$0.472$，但题目解答直接取$0.5$。