题目
3.设总体X的概率密度为-|||-f(x)= ^3)(theta -x), 0lt xlt theta 0, . .-|||-X1,X2,···,Xn是来自总体X的简单随机样本,求参数θ的矩估计量θ.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体X的一阶矩
总体X的一阶矩（即期望值）E(X)可以通过积分计算得到。根据概率密度函数f(x)，我们有：
$$E(X) = \int_{0}^{\theta} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{6x}{\theta^3}(\theta - x) dx$$
步骤 2：计算积分
将概率密度函数代入一阶矩的计算公式中，我们得到：
$$E(X) = \int_{0}^{\theta} \frac{6x^2}{\theta^3}(\theta - x) dx = \int_{0}^{\theta} \frac{6x^2}{\theta^3} \theta dx - \int_{0}^{\theta} \frac{6x^3}{\theta^3} dx$$
$$= \frac{6}{\theta^3} \int_{0}^{\theta} x^2 \theta dx - \frac{6}{\theta^3} \int_{0}^{\theta} x^3 dx$$
$$= \frac{6}{\theta^3} \cdot \frac{\theta^4}{3} - \frac{6}{\theta^3} \cdot \frac{\theta^4}{4}$$
$$= 2\theta - \frac{3}{2}\theta$$
$$= \frac{1}{2}\theta$$
步骤 3：求解矩估计量
根据矩估计法，总体X的期望值E(X)等于样本均值$\overline{X}$，即：
$$E(X) = \frac{1}{2}\theta = \overline{X}$$
解得参数θ的矩估计量为：
$$\hat{\theta} = 2\overline{X}$$
总体X的一阶矩（即期望值）E(X)可以通过积分计算得到。根据概率密度函数f(x)，我们有：
$$E(X) = \int_{0}^{\theta} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{6x}{\theta^3}(\theta - x) dx$$
步骤 2：计算积分
将概率密度函数代入一阶矩的计算公式中，我们得到：
$$E(X) = \int_{0}^{\theta} \frac{6x^2}{\theta^3}(\theta - x) dx = \int_{0}^{\theta} \frac{6x^2}{\theta^3} \theta dx - \int_{0}^{\theta} \frac{6x^3}{\theta^3} dx$$
$$= \frac{6}{\theta^3} \int_{0}^{\theta} x^2 \theta dx - \frac{6}{\theta^3} \int_{0}^{\theta} x^3 dx$$
$$= \frac{6}{\theta^3} \cdot \frac{\theta^4}{3} - \frac{6}{\theta^3} \cdot \frac{\theta^4}{4}$$
$$= 2\theta - \frac{3}{2}\theta$$
$$= \frac{1}{2}\theta$$
步骤 3：求解矩估计量
根据矩估计法，总体X的期望值E(X)等于样本均值$\overline{X}$，即：
$$E(X) = \frac{1}{2}\theta = \overline{X}$$
解得参数θ的矩估计量为：
$$\hat{\theta} = 2\overline{X}$$