12.设X1,X2,X3,X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本,其中θ未-|||-知.设有估计量-|||-_(1)=dfrac (1)(6)((X)_(1)+(X)_(2))+dfrac (1)(3)((X)_(3)+(X)_(4)),-|||-_(2)=dfrac (1)(5)((X)_(1)+2(X)_(2)+3(X)_(3)+4(X)_(4)),-|||-_(3)=dfrac (1)(4)((X)_(1)+(X)_(2)+(X)_(3)+(X)_(4)).-|||-(1)指出T1,T2,T 3中哪几个是θ的无偏估计量.-|||-(2)在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查无偏估计量的判断及估计量有效性的比较。
解题思路：
- 无偏性判断：计算每个估计量的期望，若等于参数θ，则为无偏估计量。
- 有效性比较：在无偏估计中，计算方差，方差更小的估计量更有效。
关键点：
- 指数分布的性质：均值为θ，方差为θ²。
- 线性组合的期望与方差：利用线性性质展开计算。
第（1）题：判断无偏估计量
计算T1的期望
$\begin{aligned}E(T_1) &= \frac{1}{6}E(X_1 + X_2) + \frac{1}{3}E(X_3 + X_4) \\&= \frac{1}{6}(θ + θ) + \frac{1}{3}(θ + θ) \\&= \frac{2θ}{6} + \frac{2θ}{3} = \frac{θ}{3} + \frac{2θ}{3} = θ.\end{aligned}$
结论：T1是无偏估计量。
计算T2的期望
$\begin{aligned}E(T_2) &= \frac{1}{5}E(X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4) \\&= \frac{1}{5}(θ + 2θ + 3θ + 4θ) \\&= \frac{10θ}{5} = 2θ \neq θ.\end{aligned}$
结论：T2不是无偏估计量。
计算T3的期望
$\begin{aligned}E(T_3) &= \frac{1}{4}E(X_1 + X_2 + X_3 + X_4) \\&= \frac{1}{4}(θ + θ + θ + θ) = θ.\end{aligned}$
结论：T3是无偏估计量。
第（2）题：比较有效性
计算T1的方差
$\begin{aligned}D(T_1) &= \left(\frac{1}{6}\right)^2 [D(X_1) + D(X_2)] + \left(\frac{1}{3}\right)^2 [D(X_3) + D(X_4)] \\&= \frac{1}{36}(θ^2 + θ^2) + \frac{1}{9}(θ^2 + θ^2) \\&= \frac{2θ^2}{36} + \frac{2θ^2}{9} = \frac{θ^2}{18} + \frac{4θ^2}{18} = \frac{5θ^2}{18}.\end{aligned}$
计算T3的方差
$\begin{aligned}D(T_3) &= \left(\frac{1}{4}\right)^2 [D(X_1) + D(X_2) + D(X_3) + D(X_4)] \\&= \frac{1}{16}(4θ^2) = \frac{θ^2}{4}.\end{aligned}$
比较：$\frac{θ^2}{4} < \frac{5θ^2}{18}$，故T3更有效。