题目

练习 (2021,1)设A=[a_(ij)]为3阶矩阵，A_(ij)为元素a_(ij)的代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A|=3，则A_(11)+A_(21)+A_(31)=____.

练习 (2021,1)设$A=[a_{ij}]$为3阶矩阵，$A_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且$|A|=3$，则$A_{11}+A_{21}+A_{31}=$____.

题目解答

答案

设 $ A = [a_{ij}] $ 为三阶矩阵，每行元素和为2，即 $ a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 2 $（$ i = 1, 2, 3 $）。
由题意，$ A $ 的特征向量 $ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ 对应特征值2，即 $ A\mathbf{v} = 2\mathbf{v} $。
利用伴随矩阵性质 $ AA^* = |A|I $，其中 $ |A| = 3 $，得 $ A^*\mathbf{v} = \frac{3}{2}\mathbf{v} $。
因此，$ A^* $ 的第一列元素和（即 $ A_{11} + A_{21} + A_{31} $）等于 $ \frac{3}{2} $。

答案： $\boxed{\frac{3}{2}}$