单选题 已知 X_(1),X_(2),L,X_(50) 为来自总体 X:N(2,4) 的样本，记 overline(X)=(1)/(50)sum_(i=1)^50X_(i) 则 (1)/(4)sum_(i=1)^50(X_(i)-overline(X))^2 服从分布为（）A. N(2,(4)/(50))B. N((2)/(50),4)C. x^2(50)D. x^2(49)

考查要点：本题主要考查正态总体样本方差的分布性质，特别是与卡方分布的关系。

解题核心思路：

1. 识别总体参数：已知总体服从$N(2,4)$，即均值$\mu=2$，方差$\sigma^2=4$。
2. 理解统计量形式：题目中的统计量$\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{50}(X_i-\overline{X})^2$可视为样本方差的变形。
3. 应用卡方分布定理：对于正态总体，$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$服从自由度为$n-1$的卡方分布。

破题关键点：

• 明确方差与卡方的关系：将题目中的统计量与卡方分布的标准形式对应，确定自由度。

步骤1：写出卡方分布的标准形式

对于正态总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差的无偏估计为：
$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$
根据统计定理，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，即：
$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$

步骤2：代入题目中的参数

题目中$\sigma^2 = 4$，$n=50$，因此：
$\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{50}(X_i - \overline{X})^2 = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{50}(X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(50-1) = \chi^2(49)$

步骤3：匹配选项

选项D为$\chi^2(49)$，与推导结果一致。