题目

4.10 设随机变量X 1,X2,X3相互独立,且 _(1)approx B(4,dfrac (1)(2)) _(2)approx B(6,dfrac (1)(3)) _(3)approx B(6,dfrac (1)(5)), 则-|||-[ (X)_(1)((X)_(1)+(X)_(2)-(X)_(3))] = __

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查数学期望的性质，特别是涉及独立随机变量乘积的期望计算，以及二项分布的期望与方差的计算。

解题核心思路：

  1. 展开表达式：将原式展开为$E[X_1^2] + E[X_1X_2] - E[X_1X_3]$。
  2. 利用独立性：由于$X_1, X_2, X_3$相互独立，$E[X_iX_j] = E[X_i]E[X_j]$。
  3. 计算方差与期望：通过二项分布的期望$E[X] = np$和方差$D(X) = np(1-p)$，结合$E[X^2] = D(X) + (E[X])^2$求解。

破题关键点：

  • 正确展开表达式并拆分期望。
  • 独立变量乘积的期望分解为各自期望的乘积。
  • 准确计算二项分布的期望与方差。

展开表达式

原式展开为：
$E[X_1(X_1 + X_2 - X_3)] = E[X_1^2] + E[X_1X_2] - E[X_1X_3]$

计算各部分期望

  1. $E[X_1^2]$：

    • 二项分布$X_1 \sim B(4, \frac{1}{2})$的期望$E[X_1] = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$。
    • 方差$D(X_1) = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 1$。
    • 因此，$E[X_1^2] = D(X_1) + (E[X_1])^2 = 1 + 2^2 = 5$。

  2. $E[X_1X_2]$：

    • $X_1$与$X_2$独立，故$E[X_1X_2] = E[X_1]E[X_2]$。
    • $X_2 \sim B(6, \frac{1}{3})$，$E[X_2] = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$。
    • 因此，$E[X_1X_2] = 2 \cdot 2 = 4$。

  3. $E[X_1X_3]$：

    • $X_1$与$X_3$独立，故$E[X_1X_3] = E[X_1]E[X_3]$。
    • $X_3 \sim B(6, \frac{1}{5})$，$E[X_3] = 6 \cdot \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$。
    • 因此，$E[X_1X_3] = 2 \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{5}$。

合并结果

$E[X_1(X_1 + X_2 - X_3)] = 5 + 4 - \frac{12}{5} = \frac{25}{5} + \frac{20}{5} - \frac{12}{5} = \frac{33}{5}$