题目
[1.3]设总体X在[a,b]上服从均匀分布,(X1,X2,···,Xn )为其样本,样本均值X,样本方-|||-差S^2,则a,b的矩估计 overrightarrow (a)= __ hat (b)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：求出期望EX
均匀分布的期望为 $EX=\dfrac {a+b}{2}$。由于我们使用样本均值 $\overline {X}$ 作为总体均值的估计，因此我们有 $\overline {X}=\dfrac {a+b}{2}$。
步骤 2：求出方差DX
均匀分布的方差为 $DX=\dfrac {{(b-a)}^{2}}{12}$。由于我们使用样本方差 $S^2$ 作为总体方差的估计，因此我们有 $S^2=\dfrac {{(b-a)}^{2}}{12}$。
步骤 3：解方程组
我们有两个方程：
1. $\overline {X}=\dfrac {a+b}{2}$
2. $S^2=\dfrac {{(b-a)}^{2}}{12}$
从第一个方程中解出 $a+b=2\overline {X}$，得到 $b=2\overline {X}-a$。将这个表达式代入第二个方程中，得到 $S^2=\dfrac {{(2\overline {X}-2a)}^{2}}{12}$，即 $S^2=\dfrac {4{(\overline {X}-a)}^{2}}{12}$，简化得到 $S^2=\dfrac {{(\overline {X}-a)}^{2}}{3}$。解这个方程得到 $a=\overline {X}-\sqrt {3}S$ 和 $b=\overline {X}+\sqrt {3}S$。
均匀分布的期望为 $EX=\dfrac {a+b}{2}$。由于我们使用样本均值 $\overline {X}$ 作为总体均值的估计，因此我们有 $\overline {X}=\dfrac {a+b}{2}$。
步骤 2：求出方差DX
均匀分布的方差为 $DX=\dfrac {{(b-a)}^{2}}{12}$。由于我们使用样本方差 $S^2$ 作为总体方差的估计，因此我们有 $S^2=\dfrac {{(b-a)}^{2}}{12}$。
步骤 3：解方程组
我们有两个方程：
1. $\overline {X}=\dfrac {a+b}{2}$
2. $S^2=\dfrac {{(b-a)}^{2}}{12}$
从第一个方程中解出 $a+b=2\overline {X}$，得到 $b=2\overline {X}-a$。将这个表达式代入第二个方程中，得到 $S^2=\dfrac {{(2\overline {X}-2a)}^{2}}{12}$，即 $S^2=\dfrac {4{(\overline {X}-a)}^{2}}{12}$，简化得到 $S^2=\dfrac {{(\overline {X}-a)}^{2}}{3}$。解这个方程得到 $a=\overline {X}-\sqrt {3}S$ 和 $b=\overline {X}+\sqrt {3}S$。