题目

设测量的随机误差X服从正态分布sim N(0,(10)^2),现独立重复测量6次,试求至少有1次测量误差绝对值大于19.6的概率。(已知sim N(0,(10)^2)

设测量的随机误差X服从正态分布 $X\sim N(0,10^2)$ ,现独立重复测量6次,试求至少有1次测量误差绝对值大于19.6的概率。(已知 $\phi(1.96)=0.975,\phi(1.0)=0.8413)$

题目解答

答案

解：设X表示测量的随机误差，Y表示测量误差绝对值大于19.6的次数

$P\left\{\left|X\right|\ge19.6\right\}=1-P\left\{-19.6<X<19.6\right\}$

对式子标准化计算得 $1-P\left\{-\frac{19.6}{10}<\frac{X}{10}<\frac{19.6}{10}\right\}=1-\left[\varnothing\left(1.96\right)-\varnothing\left(-1.96\right)\right]=2\left[1-\varnothing\left(1.96\right)\right]$

查表得 $\phi(1.96)=0.975$ ， $2\left[1-\varnothing\left(1.96\right)\right]=2\left[1-0.975\right]=0.05$

所以 $Y\sim B\left(6,0.05\right)$

$P\left\{Y\ge1\right\}=1-P\left\{Y<1\right\}=1-P\left\{Y=0\right\}=1-C_6^0\left(0.05\right)\left(0.95\right)^6$

故至少有1次测量误差绝对值大于19.6的概率为 $1-C_6^0\left(0.05\right)\left(0.95\right)^6=0.2549$

解析

步骤 1：计算单次测量误差绝对值大于19.6的概率
首先，我们需要计算单次测量误差绝对值大于19.6的概率。由于误差X服从正态分布$X\sim N(0,{10}^{2})$，我们可以通过标准化计算得到$P\{ |x|\geqslant 19.6\}$。
步骤 2：标准化计算
$P\{ |x|\geqslant 19.6\} =1-P\{ -19.6\lt X\lt 19.6\} =1-P\{ -\dfrac {19.6}{10}\lt \dfrac {x}{10}\lt \dfrac {19.6}{10}\} =1-2\phi(1.96)+1=2(1-\phi(1.96))$
步骤 3：查表计算
查表得$\phi (1.96)=0.975$，所以$2(1-\phi(1.96))=2(1-0.975)=0.05$。
步骤 4：计算至少有1次测量误差绝对值大于19.6的概率
设Y表示测量误差绝对值大于19.6的次数，Y服从二项分布$Y\sim B(6,0.05)$。我们需要计算$P\{ Y\geqslant 1\}$。
步骤 5：计算$P\{ Y\geqslant 1\}$
$P\{ Y\geqslant 1\} =1-P\{ Y=0\} =1-{C}_{6}^{0}(0.05)^0(0.95)^6=1-(0.95)^6$