题目

5、设X1,X2,···,Xn为取自正态总体N (μ,σ^2)的样本统计量 =n((dfrac {X-mu )(S))}^2 ,则-|||-()-|||-(A) -(x)^2(n-1) (B) -t(n-1)-|||-(C) Y-F(n-1,1) (D) Y-F(1,n-1

题目解答

答案

D. Y-F(1,n-1

解析

本题考查正态总体样本统计量的分布，解题的关键在于熟悉正态总体下样本均值、样本方差的性质以及常见统计量分布的定义。

  1. 首先明确已知条件：
    • 已知$X_1,X_2,\cdots,X_n$为取自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，样本方差$S^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}$。
    • 统计量$Y=n(\frac{\overline{X}-\mu}{S})^{2}$。
  2. 然后根据正态总体的性质：
    • 对于正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$，有$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$，那么$(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}})^2\sim\chi^{2}(1)$。
    • 同时，$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，且$\overline{X}$与$S^{2}$相互独立。
  3. 接着对统计量$Y$进行变形：
    • $Y=n(\frac{\overline{X}-\mu}{S})^{2}=\frac{(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}})^2}{\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}(n - 1)}}$。
    • 设$U = (\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}})^2\sim\chi^{2}(1)$，$V=\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，且$U$与$V$相互独立。
  4. 最后根据$F$分布的定义：
    • 若$U\sim\chi^{2}(m)$，$V\sim\chi^{2}(n)$，且$U$与$V$相互独立，则$\frac{U/m}{V/n}\sim F(m,n)$。
    • 在$Y=\frac{U}{V/(n - 1)}$中，$m = 1$，$n=n - 1$，所以$Y\sim F(1,n - 1)$。