题目
设某种电子管的使用寿命服从服从正态分布从中抽取容量15的样本进行检验。样本的平均寿命195 小时。标准差300小时。求整批电子管的使用寿命的方差 的 95 % 的置信 区间 ( 注 , , ， )
设某种电子管的使用寿命服从服从正态分布从中抽取容量15的样本进行检验。样本的平均寿命195 小时。标准差300小时。求整批电子管的使用寿命的方差
的 95 % 的置信 区间 ( 注
, 
, 
，
)
题目解答
答案
∵
,求方差 的
的置信区间
∴构造
，
∵样本容量为15
∴
∵样本的平均寿命195 小时。标准差300小时
∴
取
则
由解得
带入
， , ，得到
故答案为整批电子管的使用寿命的方差 的 95 % 的置信区间为
解析
步骤 1：构造统计量
由于样本容量为15，且总体方差未知，因此使用卡方分布构造统计量。构造的统计量为$(n-1)S^2/\sigma^2$，其中$n$为样本容量，$S^2$为样本方差，$\sigma^2$为总体方差。根据题意，$n=15$，$S^2=300^2=90000$。
步骤 2：确定置信区间
根据题意，要求95%的置信区间，即$1-\alpha=0.95$，因此$\alpha=0.05$。由于是双侧检验，所以需要查卡方分布表得到$\chi^2_{14}(0.025)$和$\chi^2_{14}(0.975)$的值。根据题目给出的数据，$\chi^2_{14}(0.025)=26.119$，$\chi^2_{14}(0.975)=5.629$。
步骤 3：计算置信区间
根据卡方分布的性质，有$P(\chi^2_{14}(0.025) \leq (n-1)S^2/\sigma^2 \leq \chi^2_{14}(0.975)) = 0.95$。将已知数据代入，得到$P(26.119 \leq 14 \times 90000/\sigma^2 \leq 5.629) = 0.95$。解不等式得到$\sigma^2$的置信区间为$[14 \times 90000/26.119, 14 \times 90000/5.629]$。
由于样本容量为15，且总体方差未知，因此使用卡方分布构造统计量。构造的统计量为$(n-1)S^2/\sigma^2$，其中$n$为样本容量，$S^2$为样本方差，$\sigma^2$为总体方差。根据题意，$n=15$，$S^2=300^2=90000$。
步骤 2：确定置信区间
根据题意，要求95%的置信区间，即$1-\alpha=0.95$，因此$\alpha=0.05$。由于是双侧检验，所以需要查卡方分布表得到$\chi^2_{14}(0.025)$和$\chi^2_{14}(0.975)$的值。根据题目给出的数据，$\chi^2_{14}(0.025)=26.119$，$\chi^2_{14}(0.975)=5.629$。
步骤 3：计算置信区间
根据卡方分布的性质，有$P(\chi^2_{14}(0.025) \leq (n-1)S^2/\sigma^2 \leq \chi^2_{14}(0.975)) = 0.95$。将已知数据代入，得到$P(26.119 \leq 14 \times 90000/\sigma^2 \leq 5.629) = 0.95$。解不等式得到$\sigma^2$的置信区间为$[14 \times 90000/26.119, 14 \times 90000/5.629]$。