27、某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以 mmHg 计）服从 N(110，122)分 布 ，在该地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 X，求(1)P (X ≤105 )，P (100< X≤120)；(2)确定最小的x，使P (X>x )≤0.05.

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及分位数的应用，涉及标准化变换、标准正态分布表的使用以及分位数的求解。

解题核心思路：

1. 标准化变换：将一般正态分布转化为标准正态分布，利用标准正态分布表计算概率。
2. 分位数概念：通过标准正态分布的分位数，反推原分布的临界值。

破题关键点：

• 标准化公式：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，将原变量转化为标准正态变量。
• 分位数对应关系：若$P(X > x) \leq 0.05$，则$x$对应95%分位数，需找到标准正态分布的0.95分位数。

(1) 求$P\{X \leq 105\}$和$P\{100 < X \leq 120\}$

计算$P\{X \leq 105\}$

1. 标准化：
   $Z = \frac{105 - 110}{12} = -0.4167$
2. 查标准正态分布表：
   $\Phi(-0.42) \approx 0.3336$，$\Phi(-0.41) \approx 0.3372$，线性插值得$\Phi(-0.4167) \approx 0.3383$。

计算$P\{100 < X \leq 120\}$

1. 标准化：
   $Z_1 = \frac{100 - 110}{12} \approx -0.8333, \quad Z_2 = \frac{120 - 110}{12} \approx 0.8333$
2. 计算概率差：
   $P\{100 < X \leq 120\} = \Phi(0.8333) - \Phi(-0.8333)$
3. 利用对称性：
   $\Phi(-0.8333) = 1 - \Phi(0.8333)$
   $\Phi(0.8333) \approx 0.7990 \quad \Rightarrow \quad 2 \times 0.7990 - 1 = 0.5980$
   （实际查表更精确值为$0.5952$）

(2) 确定最小的$x$，使$P\{X > x\} \leq 0.05$

1. 转化为分位数问题：
   $P\{X > x\} \leq 0.05 \quad \Rightarrow \quad P\{X \leq x\} \geq 0.95$
2. 标准化方程：
   $\frac{x - 110}{12} \geq z_{0.95}$
   其中，$z_{0.95} = 1.65$（标准正态分布的0.95分位数）。
3. 解方程：
   $x \geq 110 + 1.65 \times 12 = 129.8$