lim_(x to 0) (int_(0)^x^2 (mathrm(e)^2t - 1) , dt)/(sin^2 x tan^2 x) = ( ).A. 0B. 1C. (1)/(2)D. infty

考查要点：本题主要考查变上限积分的极限计算、等价无穷小替换以及泰勒展开的应用，同时需要结合洛必达法则或高阶项展开来处理分子和分母的主部系数。

解题核心思路：

1. 分子部分：将积分$\int_{0}^{x^2} (\mathrm{e}^{2t} - 1) \, dt$展开为泰勒多项式，保留主部项，计算其近似值。
2. 分母部分：利用$\sin x \sim x$和$\tan x \sim x$的等价无穷小替换，简化表达式。
3. 比较主部项：通过分子和分母的主部项系数之比确定极限值。

破题关键点：

• 分子展开：将$\mathrm{e}^{2t} - 1$展开为$2t + 2t^2 + \cdots$，积分后得到主部为$x^4$。
• 分母简化：$\sin^2 x \tan^2 x$的主部为$x^4$。
• 系数对比：分子和分母的主部系数均为$1$，因此极限值为$1$。

步骤1：展开分子中的被积函数
当$t \to 0$时，$\mathrm{e}^{2t} - 1$的泰勒展开为：
$\mathrm{e}^{2t} - 1 = 2t + \frac{(2t)^2}{2} + \frac{(2t)^3}{6} + \cdots = 2t + 2t^2 + \frac{4}{3}t^3 + \cdots$

步骤2：计算积分的近似值
积分$\int_{0}^{x^2} (\mathrm{e}^{2t} - 1) \, dt$可近似为：
$\int_{0}^{x^2} \left(2t + 2t^2 + \cdots \right) dt = \left[ t^2 + \frac{2}{3}t^3 + \cdots \right]_{0}^{x^2} = x^4 + \frac{2}{3}x^6 + \cdots$
主部为$x^4$。

步骤3：简化分母表达式
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，因此：
$\sin^2 x \tan^2 x \sim x^2 \cdot x^2 = x^4$

步骤4：比较分子和分母的主部系数
分子主部为$x^4$，分母主部为$x^4$，因此比值的极限为：
$\frac{x^4}{x^4} = 1$