1. (6.0分) x in R, x^n-1= ( ).A. (x+1)(1-x+x^2+...-x^n-1)B. 1+x+x^2+...+x^nC. (x-1)(1+x+x^2+...+x^n-1)D. 1-x+x^2+...-x^n-1+x^n

本题主要考察平方差公式和立方差公式的推广——因式分解中的等比数列求和公式应用。具体分析如下：

关键公式推导

对于实数$x \in \mathbb{R}$，$x^n - 1$是一个经典的因式分解问题，可通过多项式乘法验证：
考虑$(x - 1)(1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1})$，展开得：
$\begin{align*}&x \cdot (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) - 1 \cdot (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) \\=&x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n - (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) \\=&x^n - 1 \quad (\text{中间项全部抵消})\end{align*}$
因此，$x^n - 1 = (x - 1)(1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1})$。

选项排除

• 选项A：$(x + 1)(1 - x + x^2 + \cdots - x^{n-1})$，展开后为$x^n + 1$（当$n$为奇数时），与$x^n - 1$不符，错误。
• 选项B：$1 + x + x^2 + \cdots + x^n$是等比数列求和，等于$\frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$，与$x^n - 1$无关，错误。
• 选项D：$1 - x + x^2 + \cdots - x^{n-1} + x^n$是交错等比数列，与$x^n - 1$无直接因式关系，错误。