a 1 1 x1 1-|||-设线性方程组 1 a 1 x2 = 1 有无穷多个解,则 a= __-|||-1 1 a x3 -2?

考查要点：本题主要考查线性方程组有无穷多解的条件，涉及行列式的计算、矩阵秩的判断以及增广矩阵的应用。

解题核心思路：

1. 行列式为零：当系数矩阵的行列式为零时，方程组可能有非唯一解（无穷多解或无解）。
2. 秩的判断：系数矩阵的秩必须等于增广矩阵的秩，且均小于未知数个数，此时方程组有无穷多解。

破题关键点：

• 计算系数矩阵的行列式，令其等于零，求出可能的$a$值。
• 验证每个可能的$a$值，确保增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。

步骤1：计算系数矩阵的行列式

系数矩阵为：
$\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\1 & a & 1 \\1 & 1 & a\end{pmatrix}$

行列式展开：
$\begin{aligned}\det(A) &= a(a \cdot a - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot a - 1 \cdot 1) + 1(1 \cdot 1 - a \cdot 1) \\&= a(a^2 - 1) - (a - 1) + (1 - a) \\&= a^3 - a - a + 1 + 1 - a \\&= a^3 - 3a + 2.\end{aligned}$

步骤2：解方程$\det(A) = 0$

解方程$a^3 - 3a + 2 = 0$：

• 试根得$a = 1$是根，因式分解为$(a - 1)^2(a + 2) = 0$。
• 解得$a = 1$（二重根）或$a = -2$。

步骤3：验证增广矩阵的秩

• 当$a = 1$时：

  • 系数矩阵秩为1，增广矩阵秩为2，矛盾，方程组无解。

• 当$a = -2$时：

  • 系数矩阵秩为2，增广矩阵秩也为2，方程组有无穷多解。