题目
设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)是来自正态总体_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的样本,试求样本方差 _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的数学期望及方差.
设
是来自正态总体
的样本,试求样本方差 
的数学期望及方差.
题目解答
答案
由
及
得
又
且
得
所以
数学期望是
同理，因为这是一个自由度为
的
分布，
所以
故
所以方差是
综上所述，答案为数学期望是，方差是
解析
步骤 1：计算样本方差的数学期望
首先，我们已知$E{X}_{i}=u$，$D{X}_{i}={s}^{2}=E{{X}_{i}}^{2}-{(EX)}^{2}$，由此可得$E{X}^{2}={u}^{2}+{s}^{2}$。另外，$E\overline {X}=u$，$D\overline {X}=\dfrac {{8}^{2}}{n}=E{\overline {X}}^{2}-{(E\overline {X})}^{2}$，由此可得$E{\overrightarrow {X}}^{2}={u}^{2}+\dfrac {{8}^{2}}{n}$。因此，样本方差的数学期望为：
${E}_{1}{S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}E\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$
$=\dfrac {1}{n-1}E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n{\overline {X}}^{2})$
$=\dfrac {1}{n-1}(\sum _{i=1}^{n}E{{X}_{i}}^{2}-nE{X}^{2})$
$=\dfrac {1}{n-1}(n{a}^{2}+n{\alpha }^{2}-n{a}^{2}-{s}^{2})$
$={8}^{2}$
步骤 2：计算样本方差的方差
由于这是一个自由度为n-1的${x}^{2}$分布，所以$\dfrac {(n-1){8}^{2}}{{s}^{2}}=\sum _{i=1}^{n}{(\dfrac {{X}_{i}-\overline {X}}{8})}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$。因此，$D(\dfrac {(n-1){s}^{2}}{{s}^{2}})=2(n-1)=\dfrac {{(n-1)}^{2}}{{s}^{4}}{DS}^{2}$，从而${DS}^{2}=\dfrac {{28}^{4}}{n-1}$。
首先，我们已知$E{X}_{i}=u$，$D{X}_{i}={s}^{2}=E{{X}_{i}}^{2}-{(EX)}^{2}$，由此可得$E{X}^{2}={u}^{2}+{s}^{2}$。另外，$E\overline {X}=u$，$D\overline {X}=\dfrac {{8}^{2}}{n}=E{\overline {X}}^{2}-{(E\overline {X})}^{2}$，由此可得$E{\overrightarrow {X}}^{2}={u}^{2}+\dfrac {{8}^{2}}{n}$。因此，样本方差的数学期望为：
${E}_{1}{S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}E\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$
$=\dfrac {1}{n-1}E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n{\overline {X}}^{2})$
$=\dfrac {1}{n-1}(\sum _{i=1}^{n}E{{X}_{i}}^{2}-nE{X}^{2})$
$=\dfrac {1}{n-1}(n{a}^{2}+n{\alpha }^{2}-n{a}^{2}-{s}^{2})$
$={8}^{2}$
步骤 2：计算样本方差的方差
由于这是一个自由度为n-1的${x}^{2}$分布，所以$\dfrac {(n-1){8}^{2}}{{s}^{2}}=\sum _{i=1}^{n}{(\dfrac {{X}_{i}-\overline {X}}{8})}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$。因此，$D(\dfrac {(n-1){s}^{2}}{{s}^{2}})=2(n-1)=\dfrac {{(n-1)}^{2}}{{s}^{4}}{DS}^{2}$，从而${DS}^{2}=\dfrac {{28}^{4}}{n-1}$。