题目
7.设总体X服从N(mu,sigma^2)，X_(1),X_(2),...,X_(n)是取自总体X的一组样本，求sum_(i=1)^n(X_(i)-mu)^2/sigma^2的分布.
7.设总体X服从$N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是取自总体X的一组样本，求$\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}/\sigma^{2}$的分布.
题目解答
答案
已知 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，令 $Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，则 $Z_i \sim N(0, 1)$。
考虑平方和：
\[
\sum_{i=1}^{n} Z_i^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}
\]
由卡方分布定义，$n$ 个独立标准正态变量的平方和服从 $\chi^2(n)$。
因此，$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2}{\sigma^2}$ 的分布为 $\boxed{\chi^2(n)}$。
解析
步骤 1：标准化样本
令 $Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，则 $Z_i \sim N(0, 1)$，因为 $X_i$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，所以 $Z_i$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 2：平方和
考虑平方和：\[ \sum_{i=1}^{n} Z_i^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \]
步骤 3：卡方分布
由卡方分布的定义，$n$ 个独立标准正态变量的平方和服从 $\chi^2(n)$。因此，$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2}{\sigma^2}$ 的分布为 $\chi^2(n)$。
令 $Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，则 $Z_i \sim N(0, 1)$，因为 $X_i$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，所以 $Z_i$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 2：平方和
考虑平方和：\[ \sum_{i=1}^{n} Z_i^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \]
步骤 3：卡方分布
由卡方分布的定义，$n$ 个独立标准正态变量的平方和服从 $\chi^2(n)$。因此，$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2}{\sigma^2}$ 的分布为 $\chi^2(n)$。