题目
6.设总体Xsim N(mu,sigma^2)，X_(1),X_(2),...,X_(20)为其样本，S^2=(1)/(19)sum_(i=1)^20(X_(i)-overline(X))^2为样本方差，求P0.4sigma^2leq S^2leq 2sigma^2.
6.设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{20}$为其样本，$S^{2}=\frac{1}{19}\sum_{i=1}^{20}(X_{i}-\overline{X})^{2}$为样本方差，求$P\{0.4\sigma^{2}\leq S^{2}\leq 2\sigma^{2}\}$.
题目解答
答案
为了求解 $ P\{0.4\sigma^2 \leq S^2 \leq 2\sigma^2\} $，我们首先需要利用样本方差的性质。对于正态总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，样本方差 $ S^2 $ 有如下性质：
\[
\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
\]
其中 $ n $ 是样本容量， $ \chi^2(n-1) $ 是自由度为 $ n-1 $ 的卡方分布。在本题中， $ n = 20 $，所以 $ n-1 = 19 $。因此，我们有：
\[
\frac{19S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(19)
\]
我们需要求 $ P\{0.4\sigma^2 \leq S^2 \leq 2\sigma^2\} $。将 $ S^2 $ 的表达式转换为卡方分布的形式，我们得到：
\[
P\{0.4\sigma^2 \leq S^2 \leq 2\sigma^2\} = P\left\{0.4\sigma^2 \cdot \frac{19}{\sigma^2} \leq \frac{19S^2}{\sigma^2} \leq 2\sigma^2 \cdot \frac{19}{\sigma^2}\right\} = P\{7.6 \leq \chi^2(19) \leq 38\}
\]
接下来，我们需要找到 $ \chi^2(19) $ 分布在 7.6 和 38 之间的概率。这可以通过查卡方分布表或使用统计软件来完成。使用统计软件（如 R 软件）可以得到：
\[
P(\chi^2(19) \leq 38) \approx 0.975
\]
\[
P(\chi^2(19) \leq 7.6) \approx 0.025
\]
因此，我们有：
\[
P\{7.6 \leq \chi^2(19) \leq 38\} = P(\chi^2(19) \leq 38) - P(\chi^2(19) \leq 7.6) \approx 0.975 - 0.025 = 0.95
\]
所以，所求的概率为：
\[
\boxed{0.95}
\]
解析
步骤 1：利用样本方差的性质
对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $S^2$ 有如下性质： \[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \] 其中 $n$ 是样本容量，$\chi^2(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的卡方分布。在本题中，$n = 20$，所以 $n-1 = 19$。因此，我们有： \[ \frac{19S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(19) \]
步骤 2：将 $S^2$ 的表达式转换为卡方分布的形式
我们需要求 $P\{0.4\sigma^2 \leq S^2 \leq 2\sigma^2\}$。将 $S^2$ 的表达式转换为卡方分布的形式，我们得到： \[ P\{0.4\sigma^2 \leq S^2 \leq 2\sigma^2\} = P\left\{0.4\sigma^2 \cdot \frac{19}{\sigma^2} \leq \frac{19S^2}{\sigma^2} \leq 2\sigma^2 \cdot \frac{19}{\sigma^2}\right\} = P\{7.6 \leq \chi^2(19) \leq 38\} \]
步骤 3：计算卡方分布的概率
接下来，我们需要找到 $\chi^2(19)$ 分布在 7.6 和 38 之间的概率。这可以通过查卡方分布表或使用统计软件来完成。使用统计软件（如 R 软件）可以得到： \[ P(\chi^2(19) \leq 38) \approx 0.975 \] \[ P(\chi^2(19) \leq 7.6) \approx 0.025 \] 因此，我们有： \[ P\{7.6 \leq \chi^2(19) \leq 38\} = P(\chi^2(19) \leq 38) - P(\chi^2(19) \leq 7.6) \approx 0.975 - 0.025 = 0.95 \]
对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $S^2$ 有如下性质： \[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \] 其中 $n$ 是样本容量，$\chi^2(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的卡方分布。在本题中，$n = 20$，所以 $n-1 = 19$。因此，我们有： \[ \frac{19S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(19) \]
步骤 2：将 $S^2$ 的表达式转换为卡方分布的形式
我们需要求 $P\{0.4\sigma^2 \leq S^2 \leq 2\sigma^2\}$。将 $S^2$ 的表达式转换为卡方分布的形式，我们得到： \[ P\{0.4\sigma^2 \leq S^2 \leq 2\sigma^2\} = P\left\{0.4\sigma^2 \cdot \frac{19}{\sigma^2} \leq \frac{19S^2}{\sigma^2} \leq 2\sigma^2 \cdot \frac{19}{\sigma^2}\right\} = P\{7.6 \leq \chi^2(19) \leq 38\} \]
步骤 3：计算卡方分布的概率
接下来，我们需要找到 $\chi^2(19)$ 分布在 7.6 和 38 之间的概率。这可以通过查卡方分布表或使用统计软件来完成。使用统计软件（如 R 软件）可以得到： \[ P(\chi^2(19) \leq 38) \approx 0.975 \] \[ P(\chi^2(19) \leq 7.6) \approx 0.025 \] 因此，我们有： \[ P\{7.6 \leq \chi^2(19) \leq 38\} = P(\chi^2(19) \leq 38) - P(\chi^2(19) \leq 7.6) \approx 0.975 - 0.025 = 0.95 \]