题目

根据过去的经验，老师知道学生参加她的期末考试的成绩是个均值为75，方差为25的随机变量。(1) 估计学生得分在65分到85分之间的概率；(2) 要有多少学生参加考试才能使得班级的平均分在75 pm 5分的区间内的概率至少为0.9。

根据过去的经验，老师知道学生参加她的期末考试的成绩是个均值为75，方差为25的随机变量。

(1) 估计学生得分在65分到85分之间的概率；

(2) 要有多少学生参加考试才能使得班级的平均分在$75 \pm 5$分的区间内的概率至少为0.9。

题目解答

答案

(1) 估计学生得分在65分到85分之间的概率
由题意，$E(X) = 75$，$\text{Var}(X) = 25$，标准差 $\sigma = 5$。
转化区间：$65 < X < 85$ 等价于 $|X - 75| < 10$。
应用切比雪夫不等式：
$P(|X - 75| \geq 10) \leq \frac{\sigma^2}{10^2} = \frac{25}{100} = 0.25$
故 $P(65 < X < 85) = 1 - P(|X - 75| \geq 10) \geq 1 - 0.25 = 0.75$。

答案： $\boxed{0.75}$

(2) 确定学生人数
设 $n$ 人，平均分 $\bar{X}$，则 $E(\bar{X}) = 75$，$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{25}{n}$。
需 $P(70 < \bar{X} < 80) \geq 0.9$，即 $P(|\bar{X} - 75| < 5) \geq 0.9$。
由切比雪夫不等式：
$P(|\bar{X} - 75| \geq 5) \leq \frac{\text{Var}(\bar{X})}{5^2} = \frac{1}{n} \leq 0.1$
解得 $n \geq 10$。

答案： $\boxed{10}$

解析

本题主要考查切比雪夫不等式在概率概率估计和样本数量确定中的应用。解题思路如下：：

(1) 估计学生得分在65分到85分之间的概率

  1. 首先明确已知条件：随机变量 $X$ 的均值 $E(X) = 75$，方差 $\text{Var}(X) = 25$，根据方差与标准差的关系 $\sigma^2=\text{Var}(X)$，可得标准差 $\sigma = \sqrt{25}= 5$。
  2. 然后进行区间转化： $65 < X < 85$ 等价于 $|X - 75| < 10$。
  3. 最后应用切比雪夫不等式：切比雪夫不等式为 $P(|X - - E(X)| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}$，在本题中 $k = 10$，则 $P(|X - 75| \geq 10) \leq \frac{\sigma^2}{10^2} = \frac{25}{100} = 0.25$。
  4. 因为 $P(65 < X < 85)=P(|X - 75| < 10)$= 1 - P(|X - 75| \geq 10))，所以 $P(65 < X < 85) \geq 1 - 0.25 = 0.75$。

(2) 确定学生人数

  1. 设 $n$ 人参加考试，平均分 $\bar{X}$，根据期望和方差的性质，可得 $E(\bar{X}) = E(X) = 75$，$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\text{Var}(X)}{n}=\frac{25}{n}$。
  2. 已知需要 $P(70 < \bar{X < 80) \geq 0.9$，即 $P(|\bar{X} - 75| < 5) \geq 0.9$，这里 $k = 5$。
  3. 应用切比雪夫不等式： $P(|\bar{X} - E(\bar{X})| \geq k) \leq \frac{\text{Var}(\bar{X})}{k^2}$，在本题中 $P(|\bar{X} - 75| \geq 5) \leq \frac{\text{Var}(\bar{X})}{5^2}=\frac{25/n}{25}=\frac{1}{n}$。
  4. 因为需要 $P(|\bar{X} - 75| < 5) \geq 0.9$，所以 $P(|\bar{X} - 75| \geq 5) \leq 1 - 0.9 = 0.1$，即 $\frac{1}{n} \leq 0.1$。
  5. 解不等式 $\frac{1}{n} \leq 0.1$，可得 $n \geq 10$。