设(X_1,X_2,... X_n)是来自总体N(mu,sigma^2)的样本，overline(X)为样本均值，S^2为样本方差，则(overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))sim()A. N(1,1)B. chi^2(n)C. t(n-1)D. N(0,1)

考查要点：本题主要考查正态总体下统计量的分布，涉及样本均值、样本方差的性质，以及t分布的构造。

解题核心思路：

1. 样本均值的分布：来自正态总体的样本均值$\overline{X}$服从正态分布，标准化后可得标准正态变量。
2. 样本方差的分布：样本方差$S^2$与卡方分布的关系。
3. t分布的构造：将标准化的样本均值与样本标准差结合，形成符合t分布定义的统计量。

破题关键点：

• 独立性：在正态总体中，样本均值$\overline{X}$与样本方差$S^2$相互独立。
• 标准化处理：将分子和分母分别标准化，转化为标准正态变量与卡方变量的比值。

步骤1：分析样本均值的分布

样本均值$\overline{X}$服从正态分布：
$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
标准化后：
$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

步骤2：分析样本方差的分布

样本方差$S^2$满足：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

步骤3：构造统计量

将原统计量拆解为两个独立部分的比值：
$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} = \frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} / (n-1)}}$
其中：

• 分子$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$（标准正态变量）。
• 分母$\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} / (n-1)}$是卡方变量$\chi^2(n-1)$的平方根除以自由度。

步骤4：判定分布类型

根据t分布的定义，标准正态变量与独立的卡方变量（除以自由度）的平方根的比值服从t分布，自由度为$n-1$，即：
$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$