题目

已知函数 f(x)=ln|x-1|，则（ ）.(A) f'(x)=(1)/(|x-1|)(B) f'(x)=(1)/(x-1)(C) f'(x)=(1)/(1-x)(D) f'(x)=} (1)/(x-1), & x>1, (1)/(1-x), & x<1

已知函数 $f(x)=\ln|x-1|$，则（ ）. (A) $f'(x)=\frac{1}{|x-1|}$ (B) $f'(x)=\frac{1}{x-1}$ (C) $f'(x)=\frac{1}{1-x}$ (D) $f'(x)=\begin{cases} \frac{1}{x-1}, & x>1, \\ \frac{1}{1-x}, & x<1 \end{cases}$

题目解答

答案

我们来逐步分析这个题目：

已知函数：
$f(x) = \ln|x - 1|$

我们要找它的导数 $ f'(x) $，并从四个选项中选出正确答案。

第一步：理解函数的定义域

函数 $ f(x) = \ln|x - 1| $ 的定义域是使得 $ |x - 1| > 0 $ 的所有实数，即：
$x \ne 1$
因为对数的真数必须大于 0，而 $ |x - 1| = 0 $ 当且仅当 $ x = 1 $，所以函数在 $ x = 1 $ 处无定义。

因此，函数在 $ (-\infty, 1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上分别有定义。

第二步：分段讨论绝对值

由于有绝对值，我们根据 $ x > 1 $ 和 $ x < 1 $ 两种情况来去掉绝对值：

  1. 当 $ x > 1 $ 时，$ |x - 1| = x - 1 $，所以：
    $f(x) = \ln(x - 1)$
    求导：
    $f'(x) = \frac{1}{x - 1}$

  2. 当 $ x < 1 $ 时，$ |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x $，所以：
    $f(x) = \ln(1 - x)$
    求导：
    $f'(x) = \frac{1}{1 - x} \cdot (-1) = \frac{-1}{1 - x} = \frac{1}{x - 1}$

等等，我们仔细算一下：

$f(x) = \ln(1 - x) \Rightarrow f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(1 - x) = \frac{1}{1 - x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{x - 1}$

所以，无论是 $ x > 1 $ 还是 $ x < 1 $，导数都是：
$f'(x) = \frac{1}{x - 1}$

注意：虽然表达式一样，但我们要确认是否在两种情况下都成立。

我们再整理一下：

  • 当 $ x > 1 $：$ f(x) = \ln(x - 1) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x - 1} $
  • 当 $ x < 1 $：$ f(x) = \ln(1 - x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{1 - x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{x - 1} $

所以，在定义域内（$ x \ne 1 $），导数统一为：
$f'(x) = \frac{1}{x - 1}$

第三步：分析选项

(A) $ f'(x) = \frac{1}{|x - 1|} $

错误。这个是正的，而实际上导数在 $ x < 1 $ 时应为负（因为 $ \ln(1 - x) $ 随 $ x $ 增大而减小），所以导数应为负。而 $ \frac{1}{|x - 1|} > 0 $，不符合。

(B) $ f'(x) = \frac{1}{x - 1} $

这个表达式在 $ x > 1 $ 时为正，在 $ x < 1 $ 时为负，符合我们上面的推导。虽然在 $ x = 1 $ 无定义，但原函数也在 $ x = 1 $ 无定义，所以导数在定义域内成立。

这个选项看起来正确。

(C) $ f'(x) = \frac{1}{1 - x} $

这个等于 $ -\frac{1}{x - 1} $，符号相反，不正确。

(D) $ f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{x - 1}, & x > 1 \\ \frac{1}{1 - x}, & x < 1 \end{cases} $

我们来分析：

  • 当 $ x > 1 $：$ \frac{1}{x - 1} $，正确。
  • 当 $ x < 1 $：$ \frac{1}{1 - x} $，注意 $ 1 - x > 0 $，所以这是正数，但我们前面算出当 $ x < 1 $ 时导数是 $ \frac{1}{x - 1} $，而 $ x - 1 < 0 $，所以是负数。

而 $ \frac{1}{1 - x} > 0 $，所以这个选项在 $ x < 1 $ 时符号错了。

实际上，$ \frac{1}{1 - x} = -\frac{1}{x - 1} $，所以 (D) 中的 $ x < 1 $ 部分写错了。

正确应为 $ \frac{1}{x - 1} $，但 (D) 写成了 $ \frac{1}{1 - x} $，所以 (D) 错误。

正确答案是：

$\boxed{\text{(B)}\ f'(x) = \frac{1}{x - 1}}$

虽然函数中含有绝对值，但由于对 $ \ln|x - 1| $ 求导时，绝对值的符号变化被链式法则中的负号抵消，最终导数在 $ x \ne 1 $ 上统一为 $ \frac{1}{x - 1} $。

补充说明（常见结论）：

这是一个常见结论：
$\frac{d}{dx} \ln|x| = \frac{1}{x},\quad x \ne 0$
同理：
$\frac{d}{dx} \ln|x - 1| = \frac{1}{x - 1},\quad x \ne 1$

所以答案是 (B)。

最终答案：

$\boxed{\text{(B)}}$

解析

本题本题考查复合函数求导以及绝对值函数的处理。解题思路是先确定函数的定义域，然后根据绝对值内式子的正负性去掉绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，再分别对各段函数求导，最后根据求导结果分析各个选项。

  1. 确定函数定义域：
    对于函数$f(x)=\ln|x - 1|$，因为对数函数的真数须大于$0$，即$|x - 1|>0$，解得$x\neq1$。所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。
  2. 分段去掉绝对值并求导：
    • 当$x > 1$时，$|x - 1| = x - (x - 1)=x - 1$，此时$f(x)=\ln(x - 1)$。
      根据复合函数求导公式$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}\cdot u^\prime$，令$u = x - 1$，则$u^\prime=(x - 1)^\prime = 1$，所以$f^\prime(x)=\frac{1}{x - 1}\times1=\frac{1}{x - 1}$。
    • 当$x < 1$时，$|x - 1| = -(x - 1)=1 - x$，此时$f(x)=\ln(1 - x)$。
      同样根据复合求导公式，令$u = 1 - x$，则$u^\prime=(1 - x)^\prime=-1$，所以$f^\prime(x)=\frac{1}{1 - x}\times(-1)=-\frac{1}{1 - x}=\frac{1}{x - 1}$。
  3. 分析选项：
    • 选项A：$f^\prime(x)=\frac{1}{|x - 1|}$，因为$\frac{1}{|x - 1|}>0$，而当$x < 1$时，$f^\prime(x)=\frac{x - 1}<0$，所以A选项错误。
    • 选项B：由前面计算可知，在定义域$x\neq1$内，$f^\prime(x)=\frac{1}{x - 1}$，B选项正确。
    • 选项C：$f^\prime(x)=\frac{1}{1 - x}=-\frac{1}{x - 1}$，与我们求得的导数与之不符，C选项错误。
    • 选项D：当$x < 1$时，$f^\prime(x)=\frac{1}{1 - x}>0$，而实际$f^\prime(x)=\frac{1}{x - 1}<0$，所以D选项错误。