题目
3.设总体X的概率分布为-|||-X 0 1 2 3-|||-pk θ^2 (1-theta ) θ^2 1-20-|||-其中 theta (0lt theta lt dfrac (1)(2)) 是未知参数,利用总体X的样本值:3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值-|||-和极大似然估计值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值
样本值为：3,1,3,0,3,1,2,3。样本均值 $\bar{x} = \frac{3+1+3+0+3+1+2+3}{8} = \frac{16}{8} = 2$。
步骤 2：求解矩估计值
根据矩估计法，总体的期望值等于样本均值。即 $E(X) = \bar{x} = 2$。根据概率分布，$E(X) = 0 \cdot \theta^2 + 1 \cdot 2\theta(1-\theta) + 2 \cdot \theta^2 + 3 \cdot (1-2\theta) = 2$。解方程得到 $\theta = \frac{1}{4}$。
步骤 3：求解极大似然估计值
根据极大似然估计法，构造似然函数 $L(\theta) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 \cdot (1-2\theta)^5$。对似然函数取对数得到 $\ln L(\theta) = 2\ln\theta + \ln(2\theta(1-\theta)) + 2\ln\theta + 5\ln(1-2\theta)$。对 $\ln L(\theta)$ 求导并令导数等于0，解方程得到 $\theta = \frac{1}{12}(7-\sqrt{13})$。
样本值为：3,1,3,0,3,1,2,3。样本均值 $\bar{x} = \frac{3+1+3+0+3+1+2+3}{8} = \frac{16}{8} = 2$。
步骤 2：求解矩估计值
根据矩估计法，总体的期望值等于样本均值。即 $E(X) = \bar{x} = 2$。根据概率分布，$E(X) = 0 \cdot \theta^2 + 1 \cdot 2\theta(1-\theta) + 2 \cdot \theta^2 + 3 \cdot (1-2\theta) = 2$。解方程得到 $\theta = \frac{1}{4}$。
步骤 3：求解极大似然估计值
根据极大似然估计法，构造似然函数 $L(\theta) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 \cdot (1-2\theta)^5$。对似然函数取对数得到 $\ln L(\theta) = 2\ln\theta + \ln(2\theta(1-\theta)) + 2\ln\theta + 5\ln(1-2\theta)$。对 $\ln L(\theta)$ 求导并令导数等于0，解方程得到 $\theta = \frac{1}{12}(7-\sqrt{13})$。