题目
设随机变量X和Y独立同分布,记U=X—Y,V=X+Y,则随机变量U与V必然( )A. 不独立.B. 独立.C. 相关系数不为零.D. 相关系数为零.
设随机变量X和Y独立同分布,记U=X—Y,V=X+Y,则随机变量U与V必然( )
A. 不独立.
B. 独立.
C. 相关系数不为零.
D. 相关系数为零.
题目解答
答案
D. 相关系数为零.
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y,V=X+Y。
步骤 2：计算U和V的协方差
由于X和Y独立同分布，我们有：
Cov(U,V) = Cov(X-Y,X+Y) = Cov(X,X) + Cov(X,Y) - Cov(Y,X) - Cov(Y,Y)
由于X和Y独立，Cov(X,Y) = Cov(Y,X) = 0，且Cov(X,X) = Var(X)，Cov(Y,Y) = Var(Y) = Var(X)，因此：
Cov(U,V) = Var(X) - Var(X) = 0
步骤 3：分析U和V的相关性
由于Cov(U,V) = 0，说明U和V不相关。但是，不相关并不意味着独立，除非它们是正态分布的。因此，我们不能直接得出U和V独立的结论。
设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y,V=X+Y。
步骤 2：计算U和V的协方差
由于X和Y独立同分布，我们有：
Cov(U,V) = Cov(X-Y,X+Y) = Cov(X,X) + Cov(X,Y) - Cov(Y,X) - Cov(Y,Y)
由于X和Y独立，Cov(X,Y) = Cov(Y,X) = 0，且Cov(X,X) = Var(X)，Cov(Y,Y) = Var(Y) = Var(X)，因此：
Cov(U,V) = Var(X) - Var(X) = 0
步骤 3：分析U和V的相关性
由于Cov(U,V) = 0，说明U和V不相关。但是，不相关并不意味着独立，除非它们是正态分布的。因此，我们不能直接得出U和V独立的结论。