题目

设总体Xsim N(0,sigma^2)，X_(1),X_(2),...,X_(n)为其样本，overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)，S_(n)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2，在下列样本函数中，服从chi^2(n)分布的是（）. (A) (overline(X)sqrt(n))/(sigma) (B) (1)/(sigma^2)sum_(i=1)^nX_(i)^2 (C) (nS_(n)^2)/(sigma^2) (D) (overline(X)sqrt(n-1))/(S_(n)) A A. B B. C C. D D.

设总体$X\sim N(0,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为其样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，$S_{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，在下列样本函数中，服从$\chi^{2}(n)$分布的是（）. (A) $\frac{\overline{X}\sqrt{n}}{\sigma}$ (B) $\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$ (C) $\frac{nS_{n}^{2}}{\sigma^{2}}$ (D) $\frac{\overline{X}\sqrt{n-1}}{S_{n}}$ A
A. B
B. C
C. D
D.

题目解答

答案

**答案：B** **解析：** - **选项A**：$\frac{\overline{X} \sqrt{n}}{\sigma}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，非 $\chi^2(n)$ 分布。 - **选项B**：$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 为 $n$ 个标准正态变量平方和，服从 $\chi^2(n)$ 分布。 - **选项C**：$\frac{n S_n^2}{\sigma^2}$ 为 $n$ 个正态变量与均值差的平方和，服从 $\chi^2(n-1)$ 分布。 - **选项D**：$\frac{\overline{X} \sqrt{n-1}}{S_n}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。 **答案：B** \[ \boxed{B} \]

解析

本题主要考查正态分布、$\chi^{2}$分布、t分布的性质以及样本均值和样本方差的相关知识。解题的关键在于熟悉各种分布的定义和性质，并根据已知条件对每个选项进行分析判断。

选项A

已知总体$X\sim N(0,\sigma^{2})$，样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$。
根据正态分布的性质：若$X_{i}\sim N(0,\sigma^{2})$，$i = 1,2,\cdots,n$，且相互独立，则$\overline{X}\sim N(0,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
对$\overline{X}$进行标准化变换，令$Z=\frac{\overline{X}-0}{\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}}=\frac{\overline{X}\sqrt{n}}{\sigma}$，根据标准化正态分布的定义可知$Z\sim N(0,1)$，即$\frac{\overline{X}\sqrt{n}}{\sigma}$服从标准正态分布$N(0,1)$，并非$\chi^{2}(n)$分布。

选项B

因为$X_{i}\sim N(0,\sigma^{2})$，$i = 1,2,\cdots,n$，那么$\frac{X_{i}}{\sigma}\sim N(0,1)$。
根据$\chi^{2}$分布的定义：若$Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{n}$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_{i}^{2}\sim\chi^{2}(n)$。
在这里$Z_{i}=\frac{X_{i}}{\sigma}$，所以$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{2}=\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_{i}}{\sigma})^{2}\sim\chi^{2}(n)$，即$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{2}$服从自由度为$n$的$\chi^{2}$分布。

选项C

已知样本方差$S_{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，则$\frac{nS_{n}^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sigma^{2}}$。
根据抽样分布的性质：若总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为其样本，则$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，其中$S^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。
而本题中$S_{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，所以$\frac{nS_{n}^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，并非$\chi^{2}(n)$分布。

选项D

由前面分析可知$\frac{\overline{X}\sqrt{n}}{\sigma}\sim N(0,1)$，$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，且$\overline{X}$与$S^{2}$相互独立。
t分布的定义为：若$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^{2}(n)$，且$Z$与$Y$相互独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。
对于$\frac{\overline{X}\sqrt{n - 1}}{S_{n}}$，其中$S_{n}=\sqrt{S_{n}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}$，$\frac{\overline{X}\sqrt{n}}{\sigma}\sim N(0,1)$，$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，经过变形可得$\frac{\overline{X}\sqrt{n - 1}}{S_{n}}\sim t(n - 1)$，即$\frac{\overline{X}\sqrt{n - 1}}{S_{n}}$服从自由度为$n - 1$的t分布，并非$\chi^{2}(n)$分布。