存在实数k使得方程|x-1|+|x-2|=k恰好有三个解。A. 对B. 错

本题考查绝对值方程的解的个数问题，解题的关键思路是先根据绝对值内式子的正负性去掉绝对值符号，将原方程转化为分段函数，再分析函数的值域，进而确定方程解的个数。

步骤一：根据绝对值内式子的正负性去掉绝对值符号

令$x - 1 = 0$，得$x = 1$；令$x - 2 = 0$，得$x = 2$。
根据$x$取值范围的不同，分三种情况讨论去掉绝对值符号：

• 当$x \lt 1$时，$x - 1\lt 0$，$x - 2\lt 0$，则$\vert x - 1\vert = 1 - x$，$\vert x - 2\vert = 2 - x$，原方程$\vert x - 1\vert + \vert x - 2\vert = k$可化为$(1 - x) + (2 - x) = k$，即$3 - 2x = k$，进一步变形为$x=\frac{3 - k}{2}$。
• 当$1\leqslant x\leqslant 2$时，$x - 1\geqslant 0$，$x - 2\leqslant 0$，则$\vert x - 1\vert = x - 1$，$\vert x - 2\vert = 2 - x$，原方程$\vert x - 1\vert + \vert x - 2\vert = k$可化为$(x - 1) + (2 - x) = k$，即$1 = k$。
• 当$x \gt 2$时，$x - 1\gt 0$，$x - 2\gt 0$，则$\vert x - 1\vert = x - 1$，$\vert x - 2\vert = x - 2$，原方程$\vert x - 1\vert + \vert x - 2\vert = k$可化为$(x - 1) + (x - 2) = k$，即$2x - 3 = k$，进一步变形为$x=\frac{k + 3}{2}$。

步骤二：分析函数的值域

由上述讨论可知，$y = \vert x - 1\vert + \vert x - 2\vert$可写成分段函数的形式：
$y=\begin{cases}3 - 2x, & x \lt 1 \\ 1, & 1\leqslant x\leqslant 2 \\ 2x - 3, & x \gt 2 \end{cases}$

• 当$x \lt 1$时，$y = 3 - 2x$是一次函数，且一次项系数$-2\lt 0$，所以$y$随$x$的增大而减小，此时$y\gt 3 - 2\times1 = 1$。
• 当$1\leqslant x\leqslant 2$时，$y = 1$。
• 当$x \gt 2$时，$y = 2x - 3$是一次函数，且一次项系数$2\gt 0$，所以$y$随$x$的增大而增大，此时$y\gt 2\times2 - 3 = 1$。

综上，$y = \vert x - 1\vert + \vert x - 2\vert\geqslant 1$。

步骤三：确定方程解的个数

• 当$k \lt 1$时，方程$\vert x - 1\vert + \vert x - 2\vert = k$无解。
• 当$k = 1$时，$1\leqslant x\leqslant 2$，方程有无数个解。
• 当$k \gt 1$时，$x=\frac{3 - k}{2}$（$x \lt 1$）和$x=\frac{k + 3}{2}$（$x \gt 2$），方程有两个解。

所以，不存在实数$k$使得方程$\vert x - 1\vert + \vert x - 2\vert = k$恰好有三个解。