题目

21.已知100件产品中有10件正品,每次使用这些正品时肯定不会发生故障,而在每次使用-|||-非正品时有0.1的可能性发生故障。现从这100件产品中随机抽取一件,若使用了n次均未-|||-发生故障,问n为多大时,才能有70%的把握认为所取的产品为正品?

题目解答

答案

解析

本题考查贝叶斯公式的应用。解题的关键思路是先明确各个事件的含义，然后根据已知条件求出相应事件的概率，再利用贝贝叶斯公式计算在使用$n$次均无故障的条件下，所取产品为正品的概率，最后根据题目要求的把握程度列出不等式求解$n$的值。

  1. 定义分析分析：
    • 设$A_1 = \{取出正品\}$，$A_2 = \{取出非正品\}$，$B = \{使用n次均无故障\}$。
    • 计算$P(A_1)$和$\(P(A_2)$：
      • 因为$100$件产品中有$10$件正品，所以$P(A_1)=\frac{10}{100}=0.1$。
      • 非正品有$\(100 - 10 = 90$ )件，所以$P(A_2)=\frac{90}{100}=0.9$。
    • 计算$P(B|A_1)$和$P(B|A_2)$：
      • 由于正品使用时肯定不会发生故障，所以$P(B|A_1)=1$。
      • 非正品每次使用时有$0.1$的可能性发生故障，那么每次不发生故障的概率为$1 - 0.1 = 0.9$，使用$n$次均无故障是$n$个独立事件同时发生，根据独立事件概率乘法公式，可得$P(B|A_2)=0.9^n$。
  2. 根据贝叶斯公式计算$P(A_1|B)$：
    • 根据贝叶斯公式$P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)\over P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}$。
    • 将$P(A_1)=0.1$，$P(B|A_1)=1$，$P(A_2)=0.9$，$P(B|A_2)=0.9^n$代入上式，可得$P(A_1|B)=\frac{0.1\times1}{0.1\times1 + 0.9\times0.9^n}$。
  3. 根据题目要求列不等式求解$n$：
    • 已知要有$P(A_1|B)\geqslant0.70$，即$\frac{0.1\times1}{0.1\times1 + 0.9\times0.9^n}\geqslant0.70$。
    • 对不等式进行化简：
      • 不等式两边同时乘以$0.1\times1 + 0.9\times0.9^n$，得到$0.1\geqslant0.7\times(0.1\times1 + 0.9\times0.9^n)$。
        展开括号得$0.1\geqslant0.07+0.63\times0.9^n$。
        移项可得$\(0.1 - 0.07\geqslant0.63\times0.9^n$ )，即$0.03\geqslant0.63\times0.9^n$。
        两边同时除以$0.63$，得到$\frac{0.03}{0.63}\geqslant0.9^n$，即$\frac{1}{21}{21}\geqslant0.9^n$。
    • 两边取对数：
      对$\frac{1}{21}\geqslant0.9^n$两边取自然对数，根据对数函数的单调性$\ln\frac{1}{21}\geqslant n\ln0.9$。
      因为$\ln0.9\lt0$，所以不等式两边同时除以$\ln0.9$时，不等号方向改变，得到$n\geqslant\frac{\ln\frac{1}{21}}{\ln0.9}$。
      计算$\frac{\ln\frac{1}{21}}{\ln0.9}=\frac{-\ln21}{\ln0.9}\approx\frac{-3.0445}{-0.1054}\approx28.89$。
    • 因为$n$为使用次数，应为正整数，所以$n\geqslant29$。