一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50kg，标准差为5kg．若用最大载重量为5t的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.9772．(Φ(2)＝0.977，其中Φ(x)是标准正态分布函数)

本题主要考察中心极限定理在实际问题中的应用，核心是利用独立同分布的中心极限定理将总和的分布近似为正态分布，进而通过标准正态分布函数求解不等式得到箱数上限。

步骤1：问题转化与变量定义

设每箱重量为$X_i$（$i=1,2,\dots,n$），则$X_1,X_2,\dots,X_n$独立同分布，期望$E(X_i)=50\,\text{kg}$，标准差$\sqrt{D(X_i)}=5\,\text{kg}$，方差$D(X_i)=25\,\text{kg}^2$。
设汽车最多装$m$箱，总重量$S_m=\sum_{i=1}^m X_i$，需满足$P(S_m\leq5000)$\geq0.9772)（5t=5000kg）。

步骤2：中心极限定理应用

根据列维-林德伯格中心极限定理，当$m$较大时：
$S_m \approx N\left(\mu=50m,\ \sigma^2=25m\right)$
标准化得：
$Z=\frac{S_m - 50m}{\sqrt{25m}}=\frac{S_m - 50m}{5\sqrt{m}} \approx N(0,1)$

步骤3：求解不等式

需$P(S_m\leq5000)\geq0.9772$，转化为：
$P\left(Z\leq\frac{5000 - 50m}{5\sqrt{m}}\right)\geq\Phi(2)=0.9772$
因$\Phi(x)$单调递增，故：
$\frac{5000 - 50m}{5\sqrt{m}}\geq2$

步骤4：化简求解$m$

不等式化简：
$5000 - 50m \geq 10\sqrt{m} \implies 50m + 10\sqrt{m} - 5000 \leq 0$
设$t=\sqrt{m}$（$t>0$），则：
$50t^2 + 10t - 5000 \leq 0 \implies 5t^2 + t - 500 \leq 0$
解二次方程$5t^2 + t - 500=0$，判别式$\Delta=1 + 10000=10001$，根为：
$t=\frac{-1\pm\sqrt{10001}}{10}$
取正根$t\approx\frac{-1 + 100.005}{10}\approx9.9005$，故$m=t^2\approx98.02$，取整数$m=98$。

验证

当$m=98$时：
$\frac{5000 - 50\times98}{5\sqrt{98}}=\frac{5000 - 4900}{5\times9.899}\approx\frac{100}{49.495}\approx2.02\approx2$
满足$\Phi(2.02)\geq0.9772$，故最多装98箱。