极限 lim _(xarrow +infty )sqrt (x)(sqrt (x+a)-sqrt (x))=1 ,则a的值是 ()-|||-A.1 B. dfrac (1)(2) . C. -dfrac (1)(2) D.2-|||-A A-|||-B)B-|||-C) C-|||-D D

考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算，特别是涉及根号相减的有理化处理方法，以及利用等价无穷小或泰勒展开进行近似化简的能力。

解题核心思路：

1. 有理化处理：通过乘以共轭表达式，将根号相减转化为分式形式，简化表达式。
2. 提取主部：当$x \rightarrow +\infty$时，$\sqrt{x+a}$可近似为$\sqrt{x} + \frac{a}{2\sqrt{x}}$，从而将分母中的根号项合并化简。
3. 极限运算：通过代入极限或展开式，求出参数$a$的值。

破题关键点：

• 有理化消除根号差，将原式转化为易于处理的分式形式。
• 分母主部提取：当$x$很大时，$\sqrt{x+a} + \sqrt{x} \approx 2\sqrt{x}$，从而简化分式。

步骤1：有理化处理
原式为：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }\sqrt {x}(\sqrt {x+a}-\sqrt {x})$
将根号差部分有理化：
$\sqrt{x} \cdot \frac{(\sqrt{x+a} - \sqrt{x})(\sqrt{x+a} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+a} + \sqrt{x}} = \sqrt{x} \cdot \frac{a}{\sqrt{x+a} + \sqrt{x}}$

步骤2：化简分式
分子为$a$，分母为$\sqrt{x+a} + \sqrt{x}$。当$x \rightarrow +\infty$时，$\sqrt{x+a} \approx \sqrt{x} + \frac{a}{2\sqrt{x}}$，因此分母可近似为：
$\sqrt{x+a} + \sqrt{x} \approx \sqrt{x} + \frac{a}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x} + \frac{a}{2\sqrt{x}}$
忽略高阶无穷小项$\frac{a}{2\sqrt{x}}$，分母主部为$2\sqrt{x}$，代入原式得：
$\sqrt{x} \cdot \frac{a}{2\sqrt{x}} = \frac{a}{2}$

步骤3：求解参数$a$
根据题意，极限值为$1$，即：
$\frac{a}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 2$