设C为正向圆周|z|=(1)/(2)，则oint_(c)(z^3cosfrac(1)/(z-2))((1-z)^2)dz=____.

考查要点：本题主要考查复变函数积分的计算，特别是利用柯西积分定理判断积分值的能力。关键在于分析被积函数的奇点位置，并判断这些奇点是否位于积分路径内部。

解题核心思路：

1. 确定被积函数的奇点：分母为零的点和余弦函数内部的奇点。
2. 判断奇点是否在积分路径内：比较奇点到原点的距离与积分路径半径。
3. 应用柯西积分定理：若积分路径内无奇点，则积分值为零。

破题关键点：

• 奇点定位：分母 $(1-z)^2$ 对应 $z=1$（二阶极点），$\cos\frac{1}{z-2}$ 对应 $z=2$（本质奇点）。
• 奇点位置判断：积分路径为 $|z|=\frac{1}{2}$，奇点 $z=1$ 和 $z=2$ 均在路径外。
• 定理应用：路径内无奇点，积分结果为 $0$。

步骤1：分析被积函数的奇点

被积函数为 $\frac{z^3 \cos\frac{1}{z-2}}{(1-z)^2}$，其奇点由分母和余弦函数内部的奇点决定：

• 分母 $(1-z)^2$ 的奇点：当 $1-z=0$ 时，即 $z=1$，此处为二阶极点。
• 余弦函数 $\cos\frac{1}{z-2}$ 的奇点：当 $z=2$ 时，$\frac{1}{z-2}$ 无定义，此处为本质奇点。

步骤2：判断奇点是否在积分路径内

积分路径为正向圆周 $|z|=\frac{1}{2}$，其半径为 $\frac{1}{2}$，中心在原点。计算奇点到原点的距离：

• $z=1$ 的模为 $1$，大于 $\frac{1}{2}$，故在路径外。
• $z=2$ 的模为 $2$，同样大于 $\frac{1}{2}$，也在路径外。

因此，积分路径内无任何奇点。

步骤3：应用柯西积分定理

柯西积分定理指出：若函数在闭合路径及其内部解析，则积分值为零。本题中，被积函数在 $|z|<\frac{1}{2}$ 内解析，故积分结果为 $0$。