试求每个工人的平均补贴金额,以及补贴金额的中位数、众数、极差和方差

考查要点：本题主要考查统计学中的基本概念，包括平均数、中位数、众数、极差、方差的计算方法。
解题思路：

1. 平均数：用所有补贴金额的总和除以总人数。
2. 中位数：确定数据排序后中间位置的值，需根据频数分布找到对应位置。
3. 众数：频数最大的补贴金额。
4. 极差：最大值与最小值的差。
5. 方差：计算每个数据与平均数的差的平方的平均值，需结合频数加权。

关键点：

• 频数分布表的灵活运用。
• 中位数需通过累积频数定位。
• 方差需注意加权求和的准确性。

数据整理

补贴金额与频数对应关系如下：

补贴金额	2	4	6	8	10
频数	40	80	110	90	80

总人数：$40 + 80 + 110 + 90 + 80 = 400$

平均数

$\bar{x} = \frac{2 \times 40 + 4 \times 80 + 6 \times 110 + 8 \times 90 + 10 \times 80}{400} = \frac{2580}{400} = 6.45$

中位数

• 累积频数：$40 \rightarrow 120 \rightarrow 230 \rightarrow 320 \rightarrow 400$
• 第200、201个数据均落在补贴金额$6$对应的频数区间内，故中位数为$6$。

众数

频数最大值为$110$，对应补贴金额$6$，故众数为$6$。

极差

$R = 10 - 2 = 8$

方差

$\sigma^2 = \frac{(2-6.45)^2 \times 40 + (4-6.45)^2 \times 80 + (6-6.45)^2 \times 110 + (8-6.45)^2 \times 90 + (10-6.45)^2 \times 80}{400} = 6.2975$