题目
五、(10分)某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为lambda=1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率.
五、(10分)某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为$\lambda=1$的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率.
题目解答
答案
设 $X_i$ 为第 $i$ 周销售量，$X_i \sim P(1)$，则 $E(X_i) = 1$，$D(X_i) = 1$。一年总销售量 $Y = \sum_{i=1}^{52} X_i$，由期望和方差的性质得 $E(Y) = 52$，$D(Y) = 52$。
由中心极限定理，$Y$ 近似服从 $N(52, 52)$。
标准化得 $Z = \frac{Y - 52}{\sqrt{52}} \sim N(0, 1)$，
则
\[
P(50 < Y < 70) = P\left(-\frac{2}{\sqrt{52}} < Z < \frac{18}{\sqrt{52}}\right) = \Phi\left(\frac{18}{\sqrt{52}}\right) - \Phi\left(-\frac{2}{\sqrt{52}}\right) = \Phi\left(\frac{18}{\sqrt{52}}\right) + \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{52}}\right) - 1.
\]
查表得近似值为 $\boxed{0.6040}$。
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X_i$ 为第 $i$ 周销售量，$X_i \sim P(1)$，即每周销售量服从参数为 $\lambda=1$ 的泊松分布。
步骤 2：计算期望和方差
由于 $X_i \sim P(1)$，则 $E(X_i) = 1$，$D(X_i) = 1$。
步骤 3：计算一年总销售量的期望和方差
一年总销售量 $Y = \sum_{i=1}^{52} X_i$，由期望和方差的性质得 $E(Y) = 52$，$D(Y) = 52$。
步骤 4：应用中心极限定理
由中心极限定理，$Y$ 近似服从 $N(52, 52)$。
步骤 5：标准化
标准化得 $Z = \frac{Y - 52}{\sqrt{52}} \sim N(0, 1)$。
步骤 6：计算概率
则 \[ P(50 < Y < 70) = P\left(-\frac{2}{\sqrt{52}} < Z < \frac{18}{\sqrt{52}}\right) = \Phi\left(\frac{18}{\sqrt{52}}\right) - \Phi\left(-\frac{2}{\sqrt{52}}\right) = \Phi\left(\frac{18}{\sqrt{52}}\right) + \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{52}}\right) - 1. \]
步骤 7：查表得近似值
查表得近似值为 $\boxed{0.6040}$。
设 $X_i$ 为第 $i$ 周销售量，$X_i \sim P(1)$，即每周销售量服从参数为 $\lambda=1$ 的泊松分布。
步骤 2：计算期望和方差
由于 $X_i \sim P(1)$，则 $E(X_i) = 1$，$D(X_i) = 1$。
步骤 3：计算一年总销售量的期望和方差
一年总销售量 $Y = \sum_{i=1}^{52} X_i$，由期望和方差的性质得 $E(Y) = 52$，$D(Y) = 52$。
步骤 4：应用中心极限定理
由中心极限定理，$Y$ 近似服从 $N(52, 52)$。
步骤 5：标准化
标准化得 $Z = \frac{Y - 52}{\sqrt{52}} \sim N(0, 1)$。
步骤 6：计算概率
则 \[ P(50 < Y < 70) = P\left(-\frac{2}{\sqrt{52}} < Z < \frac{18}{\sqrt{52}}\right) = \Phi\left(\frac{18}{\sqrt{52}}\right) - \Phi\left(-\frac{2}{\sqrt{52}}\right) = \Phi\left(\frac{18}{\sqrt{52}}\right) + \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{52}}\right) - 1. \]
步骤 7：查表得近似值
查表得近似值为 $\boxed{0.6040}$。