题目
6.从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm）为100.36 100.31 99.99 100.11 100.64100.85 99.42 99.91 99.35 100.10设这批钢管内径服从正态分布N(mu,sigma^2)，试分别在下列条件下：（1）已知sigma=0.5；（2）sigma未知；检验假设（alpha=0.05）H_(0)：mu=100 vs H_(1)：mu>100.
6.从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm）为
100.36 100.31 99.99 100.11 100.64
100.85 99.42 99.91 99.35 100.10
设这批钢管内径服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，试分别在下列条件下：
（1）已知$\sigma=0.5$；
（2）$\sigma$未知；
检验假设（$\alpha=0.05$）
$H_{0}：\mu=100$ vs $H_{1}：\mu>100$.
题目解答
答案
**解：**
1. **计算样本均值**
$\overline{x} = \frac{1}{10} \sum x_i = 100.104$
2. **计算样本标准差**
$s \approx 0.4750$
3. **已知 $\sigma = 0.5$ 时的 $U$ 检验**
$U = \frac{\overline{x} - 100}{0.5 / \sqrt{10}} \approx 0.6578 < 1.645$
**结论：接受 $H_0$**
4. **$\sigma$ 未知时的 $T$ 检验**
$T = \frac{\overline{x} - 100}{s / \sqrt{10}} \approx 0.6922 < 1.8331$
**结论：接受 $H_0$**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{(1) 已知 } \sigma = 0.5: & \text{接受 } H_0 \\
\text{(2) } \sigma \text{ 未知:} & \text{接受 } H_0 \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值
样本均值 $\overline{x}$ 可以通过将所有样本值相加，然后除以样本数量来计算。给定的样本值为：100.36, 100.31, 99.99, 100.11, 100.64, 100.85, 99.42, 99.91, 99.35, 100.10。样本数量为10。
$$
\overline{x} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i = \frac{1}{10} (100.36 + 100.31 + 99.99 + 100.11 + 100.64 + 100.85 + 99.42 + 99.91 + 99.35 + 100.10) = 100.104
$$
步骤 2：计算样本标准差
样本标准差 $s$ 可以通过计算每个样本值与样本均值之差的平方和，然后除以样本数量减一，最后取平方根来计算。
$$
s = \sqrt{\frac{1}{10-1} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \overline{x})^2} \approx 0.4750
$$
步骤 3：已知 $\sigma = 0.5$ 时的 $U$ 检验
当总体标准差 $\sigma$ 已知时，使用 $U$ 检验。$U$ 统计量的计算公式为：
$$
U = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
$$
其中 $\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$n$ 是样本数量。将已知值代入公式：
$$
U = \frac{100.104 - 100}{0.5 / \sqrt{10}} \approx 0.6578
$$
步骤 4：$\sigma$ 未知时的 $T$ 检验
当总体标准差 $\sigma$ 未知时，使用 $T$ 检验。$T$ 统计量的计算公式为：
$$
T = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
$$
将已知值代入公式：
$$
T = \frac{100.104 - 100}{0.4750 / \sqrt{10}} \approx 0.6922
$$
步骤 5：比较检验统计量与临界值
对于单侧检验，$\alpha = 0.05$ 的临界值为 $1.645$（对于 $U$ 检验）和 $1.8331$（对于 $T$ 检验，自由度为 $n-1=9$）。比较检验统计量与临界值：
$$
U \approx 0.6578 < 1.645
$$
$$
T \approx 0.6922 < 1.8331
$$
步骤 6：得出结论
由于 $U$ 和 $T$ 统计量都小于各自的临界值，因此在两种情况下都接受原假设 $H_0$。
样本均值 $\overline{x}$ 可以通过将所有样本值相加，然后除以样本数量来计算。给定的样本值为：100.36, 100.31, 99.99, 100.11, 100.64, 100.85, 99.42, 99.91, 99.35, 100.10。样本数量为10。
$$
\overline{x} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i = \frac{1}{10} (100.36 + 100.31 + 99.99 + 100.11 + 100.64 + 100.85 + 99.42 + 99.91 + 99.35 + 100.10) = 100.104
$$
步骤 2：计算样本标准差
样本标准差 $s$ 可以通过计算每个样本值与样本均值之差的平方和，然后除以样本数量减一，最后取平方根来计算。
$$
s = \sqrt{\frac{1}{10-1} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \overline{x})^2} \approx 0.4750
$$
步骤 3：已知 $\sigma = 0.5$ 时的 $U$ 检验
当总体标准差 $\sigma$ 已知时，使用 $U$ 检验。$U$ 统计量的计算公式为：
$$
U = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
$$
其中 $\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$n$ 是样本数量。将已知值代入公式：
$$
U = \frac{100.104 - 100}{0.5 / \sqrt{10}} \approx 0.6578
$$
步骤 4：$\sigma$ 未知时的 $T$ 检验
当总体标准差 $\sigma$ 未知时，使用 $T$ 检验。$T$ 统计量的计算公式为：
$$
T = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
$$
将已知值代入公式：
$$
T = \frac{100.104 - 100}{0.4750 / \sqrt{10}} \approx 0.6922
$$
步骤 5：比较检验统计量与临界值
对于单侧检验，$\alpha = 0.05$ 的临界值为 $1.645$（对于 $U$ 检验）和 $1.8331$（对于 $T$ 检验，自由度为 $n-1=9$）。比较检验统计量与临界值：
$$
U \approx 0.6578 < 1.645
$$
$$
T \approx 0.6922 < 1.8331
$$
步骤 6：得出结论
由于 $U$ 和 $T$ 统计量都小于各自的临界值，因此在两种情况下都接受原假设 $H_0$。