4-3、(2-7) 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

本题考查正态分布下测量结果的置信区间计算，解题思路是先计算测量数据的平均值，再计算样本标准差，接着根据给定的置信概率和自由度查找t分布表得到t值，最后根据公式计算置信区间，从而确定测量结果。

1. 计算平均值：
   • 平均值$\bar{x}$的计算公式为$\bar{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$，其中$x_{i}$为第$i$次测量值，$n$为测量次数。
   • 已知测量数据$x_1 = 20.0015$，$x_2 = 20.0016$，$x_3 = 20.0018$，$x_4 = 20.0015$，$x_5 = 20.0011$，$n = 5$。
   • 则$\sum_{i = 1}^{5}x_{i}=20.0015 + 20.0016 + 20.0018 + 20.0015 + 20.0011 = 100.0075$。
   • 所以$\bar{x}=\frac{100.0075}{5}=20.0015\mathrm{mm}$。
2. 计算样本标准差：
   • 样本标准差$s$的计算公式为$s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^2}{n - 1}}$。
   • 分别计算$(x_{i}-\bar{x})^2$的值：
     • $(20.0015 - 20.0015)^2 = 0$；
     • $(20.0016 - 20.0015)^2 = 0.00000001$；
     • $(20.0018 - 20.0015)^2 = 0.00000009$；
     • $(20.0015 - 20.0015)^2 = 0$；
     • $(20.0011 - 20.0015)^2 = 0.00000016$。
   • 则$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\bar{x})^2 = 0 + 0.00000001 + 0.00000009 + 0 + 0.00000016 = 0.00000026$。
   • 所以$s = \sqrt{\frac{0.00000026}{5 - 1}}=\sqrt{\frac{0.00000026}{4}}\approx0.000255\mathrm{mm}$。
3. 查找t值：
   • 已知置信概率为$99\%$，则$\alpha = 1 - 99\% = 0.01$，$\frac{\alpha}{2}=0.005$。
   • 自由度$v = n - 1 = 5 - 1 = 4$。
   • 查t分布表可得$t_{\frac{\alpha}{2},v}=t_{0.005,4}\approx4.604$。
4. 计算置信区间：
   • 置信区间$\Delta$的计算公式为$\Delta = t_{\frac{\alpha}{2},v}\frac{s}{\sqrt{n}}$。
   • 将$t_{0.005,4}\approx4.604$，$s\approx0.000255\mathrm{mm}$，$n = 5$代入公式可得：
   • $\Delta = 4.604\times\frac{0.000255}{\sqrt{5}}\approx0.000524\mathrm{mm}$。
5. 确定测量结果：
   • 测量结果表示为$\bar{x}\pm\Delta$，即$20.0015\pm0.000524\mathrm{mm}$，也可根据实际情况近似表示为$20.0015\pm0.0005\mathrm{mm}$。