题目
::-|||-'=dfrac (x)(y)+dfrac (y)(x) , (|)_(x=1)=2.
题目解答
答案
解析
步骤 1：引入变量替换
令 $u=\dfrac {y}{x}$ ,则 $y=ux$ , $y'=u+xu'$ ,于是原方程变形为 $u+xu'=\dfrac {1}{u}+u$ ,整理得 $xu'=\dfrac {1}{u}$.
步骤 2：分离变量并积分
将 $xu'=\dfrac {1}{u}$ 分离变量得 $udu=\dfrac {dx}{x}$ ,两边积分得 $\int udu=\int \dfrac {dx}{x}$ ,即 $\dfrac {1}{2}u^{2}=\ln |x|+C$.
步骤 3：代回原变量并求特解
将 $u=\dfrac {y}{x}$ 代入 $\dfrac {1}{2}u^{2}=\ln |x|+C$ ,得 $\dfrac {1}{2}(\dfrac {y}{x})^{2}=\ln |x|+C$ ,整理得 $y^{2}=2x^{2}(\ln |x|+C)$.
由初始条件 $y{|}_{x=1}=2$ ,得 $2^{2}=2\times 1^{2}(\ln |1|+C)$ ,即 $4=2C$ ,解得 $C=2$.
因此,所求方程的特解为 $y^{2}=2x^{2}(\ln |x|+2)$.
令 $u=\dfrac {y}{x}$ ,则 $y=ux$ , $y'=u+xu'$ ,于是原方程变形为 $u+xu'=\dfrac {1}{u}+u$ ,整理得 $xu'=\dfrac {1}{u}$.
步骤 2：分离变量并积分
将 $xu'=\dfrac {1}{u}$ 分离变量得 $udu=\dfrac {dx}{x}$ ,两边积分得 $\int udu=\int \dfrac {dx}{x}$ ,即 $\dfrac {1}{2}u^{2}=\ln |x|+C$.
步骤 3：代回原变量并求特解
将 $u=\dfrac {y}{x}$ 代入 $\dfrac {1}{2}u^{2}=\ln |x|+C$ ,得 $\dfrac {1}{2}(\dfrac {y}{x})^{2}=\ln |x|+C$ ,整理得 $y^{2}=2x^{2}(\ln |x|+C)$.
由初始条件 $y{|}_{x=1}=2$ ,得 $2^{2}=2\times 1^{2}(\ln |1|+C)$ ,即 $4=2C$ ,解得 $C=2$.
因此,所求方程的特解为 $y^{2}=2x^{2}(\ln |x|+2)$.