题目

四阶行列式l |A|neq 0的元素和代数余子式为l |A|neq 0,则下列正确的是( )A.l |A|neq 0B.l |A|neq 0C.l |A|neq 0D.l |A|neq 0

四阶行列式的元素和代数余子式为,则下列正确的是(  )

A.

B.

C.

D.

题目解答

答案

选项A： 

根据行列式按行展开法则，，而不是，所以选项A错误. 

选项B：

同样根据行列式按行展开法则，，所以选项B正确. 

选项C： 

按列展开应该是，不是，所以选项C错误. 

选项D： 

由于，若，相当于按第3列展开后再乘以，这与行列式的展开法则不符，一般情况下，所以选项D错误. 

故答案为B选项.

解析

本题考查行列式按行（列）展开的法则，核心在于理解代数余子式的定义及展开规则。关键点：

  1. 代数余子式$A_{ij}$对应元素$a_{ij}$，其符号为$(-1)^{i+j}$，余子式为去掉第$i$行第$j$列后的子式。
  2. 行列式展开时，元素与其代数余子式必须同属于同一行或同一列，且展开结果等于行列式的值。
  3. 错误选项常通过行、列索引不匹配或错误展开方式设置干扰。

选项A

错误。
按第4行展开时，代数余子式应为$A_{4k}$，而非$A_{3k}$。正确展开式为$\sum_{k=1}^4 a_{4k}A_{4k}$，与选项A不符。

选项B

正确。
按第4行展开，展开式为$\sum_{k=1}^4 a_{4k}A_{4k}$，与行列式定义一致。

选项C

错误。
若按第1列展开，应为$\sum_{k=1}^4 a_{k1}A_{k1}$，但选项中代数余子式为$A_{k2}$（对应第2列），元素与代数余子式不在同一列，展开不成立。

选项D

错误。
$\sum_{k=1}^4 a_{k3}A_{k3}$是按第3列展开的行列式值，即$|A|$。题目中$|A| \neq 0$，故该和不为0。