题目
设X,Y为随机变量，且E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。A.D(XY)=D(X)D(Y) B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X,Y相互独立 D.X,Y不相互独立
设X,Y为随机变量，且E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。
A.D(XY)=D(X)D(Y) B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C.X,Y相互独立 D.X,Y不相互独立
题目解答
答案
故选B.
解析
步骤 1：理解条件
题目给出的条件是 $E(XY) = E(X)E(Y)$，其中 $E$ 表示期望值。这个条件意味着随机变量 $X$ 和 $Y$ 的乘积的期望值等于它们各自期望值的乘积。
步骤 2：分析协方差
根据协方差的定义，$COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。由于题目条件 $E(XY) = E(X)E(Y)$，可以得出 $COV(X,Y) = 0$。这意味着随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差为零。
步骤 3：分析方差
根据方差的性质，$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2COV(X,Y)$。由于 $COV(X,Y) = 0$，可以得出 $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$。这意味着随机变量 $X$ 和 $Y$ 的和的方差等于它们各自方差的和。
步骤 4：分析独立性
协方差为零并不意味着随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立。独立性需要更严格的条件，即 $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ 对所有 $x$ 和 $y$ 成立，其中 $f_{X,Y}(x,y)$ 是联合概率密度函数，$f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度函数。因此，不能从 $COV(X,Y) = 0$ 推断出 $X$ 和 $Y$ 相互独立。
题目给出的条件是 $E(XY) = E(X)E(Y)$，其中 $E$ 表示期望值。这个条件意味着随机变量 $X$ 和 $Y$ 的乘积的期望值等于它们各自期望值的乘积。
步骤 2：分析协方差
根据协方差的定义，$COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。由于题目条件 $E(XY) = E(X)E(Y)$，可以得出 $COV(X,Y) = 0$。这意味着随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差为零。
步骤 3：分析方差
根据方差的性质，$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2COV(X,Y)$。由于 $COV(X,Y) = 0$，可以得出 $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$。这意味着随机变量 $X$ 和 $Y$ 的和的方差等于它们各自方差的和。
步骤 4：分析独立性
协方差为零并不意味着随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立。独立性需要更严格的条件，即 $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ 对所有 $x$ 和 $y$ 成立，其中 $f_{X,Y}(x,y)$ 是联合概率密度函数，$f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度函数。因此，不能从 $COV(X,Y) = 0$ 推断出 $X$ 和 $Y$ 相互独立。