题目
【例4】求lim_(xto1)(x^2-1)/(x^2)+2x-3.
【例4】求$\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x-3}$.
题目解答
答案
当 $x \to 1$ 时，分子 $x^2 - 1$ 和分母 $x^2 + 2x - 3$ 均趋近于 0，形成 $\frac{0}{0}$ 型未定式。可将分子和分母因式分解：
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 3} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 3)(x - 1)}
\]
约去公因子 $x - 1$（注意 $x \neq 1$），得：
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 3}
\]
代入 $x = 1$，得：
\[
\frac{1 + 1}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
因此，极限为 $\boxed{\frac{1}{2}}$。
解析
本题考查函数极限的计算，解题思路是先判断极限类型，当出现 $\frac{0}{0}$ 型未定式时，通过对分子分母进行因式分解，约去使分母为零的公因式，再将极限值代入化简后的式子进行计算。
- 判断极限类型：
当 $x \to 1$ 时，计算分子 $x^2 - 1$ 的极限：
$\lim_{x \to 1}(x^2 - 1)=1^2 - 1 = 0$
计算分母 $x^2 + 2x - 3$ 的极限：
$\lim_{x \to 1}(x^2 + 2x - 3)=1^2 + 2\times1 - 3 = 0$
此时极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。 - 对分子分母进行因式分解：
根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，可得 $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$。
对于 $x^2 + 2x - 3$，使用十字相乘法可得 $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$。
则原式可化为：
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 3} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 3)(x - 1)}$ - 约去公因式：
因为 $x \to 1$ 时，$x \neq 1$，所以可以约去分子分母的公因式 $x - 1$，得到：
$\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 3}$ - 代入极限值计算：
将 $x = 1$ 代入 $\frac{x + 1}{x + 3}$，可得：
$\frac{1 + 1}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$