3.(简答题)*(22.2题)设随机变量X,Y相互独立,且Xsim N(720,30^2),Ysim N(640,25^2)。求Z_(1)=2X+Y,Z_(2)=X-Y的分布,并求概率P(X>Y),P(X+Y>1400)。(简答题)

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质、独立随机变量的期望与方差计算，以及利用标准正态分布计算概率。

解题核心思路：

1. 线性组合的正态性：若$X$和$Y$独立且服从正态分布，则它们的线性组合$Z_1=2X+Y$和$Z_2=X-Y$仍服从正态分布。
2. 期望与方差计算：利用期望的线性性（$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$）和方差的可加性（若独立，则$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$）。
3. 概率计算：将事件转化为对应正态变量的标准化形式，通过查标准正态分布表求解。

破题关键点：

• 独立性保证方差可加：独立变量的线性组合方差直接相加。
• 标准化转换：将非标准正态变量转换为标准正态变量$Z$，利用$\Phi(z)$表计算概率。

1. 求$Z_1=2X+Y$的分布

计算期望

$E(Z_1) = 2E(X) + E(Y) = 2 \times 720 + 640 = 2080.$

计算方差

$D(Z_1) = 2^2D(X) + 1^2D(Y) = 4 \times 30^2 + 25^2 = 4 \times 900 + 625 = 4225.$

确定分布

$Z_1 \sim N(2080, 65^2).$

2. 求$Z_2=X-Y$的分布

计算期望

$E(Z_2) = E(X) - E(Y) = 720 - 640 = 80.$

计算方差

$D(Z_2) = D(X) + D(Y) = 30^2 + 25^2 = 900 + 625 = 1525.$

确定分布

$Z_2 \sim N(80, 1525).$

3. 求$P(X > Y)$

转化为$Z_2$的概率

$P(X > Y) = P(Z_2 > 0).$

标准化

$P\left(Z_2 > 0\right) = P\left(Z > \frac{0 - 80}{\sqrt{1525}}\right) = P\left(Z > -2.0486\right).$

查标准正态分布表

$P(Z > -2.0486) = 1 - \Phi(-2.0486) \approx 1 - 0.0197 = 0.9798.$

4. 求$P(X + Y > 1400)$

定义新变量$Z_3 = X + Y$

$E(Z_3) = 720 + 640 = 1360,$
$D(Z_3) = 30^2 + 25^2 = 1525.$

标准化

$P(Z_3 > 1400) = P\left(Z > \frac{1400 - 1360}{\sqrt{1525}}\right) = P\left(Z > 1.0243\right).$

查标准正态分布表

$P(Z > 1.0243) = 1 - \Phi(1.0243) \approx 1 - 0.848 = 0.152.$