[例 3-1 ](1)曲线 =3((x)^2+x)(e)^x 在点(0,0)处的切线方-|||-程为 =3x-|||-(2)设函数 (x)=[ a(x)^2-(4a+1)x+4a+3] (e)^x. 若曲线-|||-y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,则 a=-|||-1

考查要点：本题主要考查导数的几何意义，即利用导数求曲线在某点处的切线方程，以及根据切线斜率求解参数的值。

解题核心思路：

1. 切线方程的求解：先求函数在指定点的导数值（即切线的斜率），再利用点斜式方程写出切线方程。
2. 参数求解：根据题意，切线与x轴平行时斜率为0，通过求导后代入条件解方程得到参数值。

破题关键点：

• 正确应用乘积法则：对形如多项式与指数函数的乘积求导时，需准确使用乘积法则。
• 代数运算的准确性：合并同类项时需仔细计算，避免符号错误。

第（1）题

目标：求曲线 $y=3(x^2+x)e^x$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程。

求导数

函数为 $y=3(x^2+x)e^x$，使用乘积法则：
$\begin{aligned}y' &= 3 \cdot \left[ (2x+1)e^x + (x^2+x)e^x \right] \\&= 3e^x \left( x^2 + 3x + 1 \right).\end{aligned}$

求斜率

在 $x=0$ 处，导数值为：
$y'(0) = 3e^0(0 + 0 + 1) = 3.$

写切线方程

切线方程为：
$y = 3(x - 0) + 0 \quad \Rightarrow \quad y = 3x.$

第（2）题

目标：求 $a$ 使得 $f(x)=[ax^2-(4a+1)x+4a+3]e^x$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与x轴平行。

求导数

函数为 $f(x)=[ax^2-(4a+1)x+4a+3]e^x$，使用乘积法则：
$\begin{aligned}f'(x) &= \left[ (2ax - (4a+1))e^x + (ax^2 - (4a+1)x +4a+3)e^x \right] \\&= e^x \left[ ax^2 + (-2a-1)x + 2 \right].\end{aligned}$

代入条件 $f'(1)=0$

将 $x=1$ 代入导数：
$f'(1) = e \left[ a(1)^2 + (-2a-1)(1) + 2 \right] = e(-a + 1).$
由题意得：
$e(-a + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 1.$

验证 $f(1) \neq 0$

代入 $a=1$：
$f(1) = [1 - 5 + 4 + 3]e = 3e \neq 0.$