题目
1.设有N个产品,其中M个是次品.现在进行有放回抽样,且定义随机变量X1如下:-|||-_(i)= 1,第i次取得次品, 0,第i次取得正品 (i=1,2,···,n). -|||-求(X1,X2,···,Xn)的联合分布律.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
定义随机变量 ${X}_{i}$ 为第 $i$ 次抽样时，抽到次品的概率为1，抽到正品的概率为0。由于抽样是有放回的，每次抽样的结果是独立的。
步骤 2：计算单次抽样概率
每次抽样时，抽到次品的概率为 $\dfrac{M}{N}$，抽到正品的概率为 $\dfrac{N-M}{N}$。
步骤 3：计算联合分布律
由于每次抽样是独立的，所以联合分布律为各次抽样概率的乘积。设在 $n$ 次抽样中有 $k$ 次抽到次品，那么有 $n-k$ 次抽到正品。因此，联合分布律为：
$$P\{ {X}_{1}={x}_{1}, {X}_{2}={x}_{2}, \cdots, {X}_{n}={x}_{n}\} = \left(\dfrac{M}{N}\right)^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}} \left(\dfrac{N-M}{N}\right)^{n-\sum_{i=1}^{n}x_{i}}$$
其中，$\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ 表示在 $n$ 次抽样中有多少次抽到次品。
定义随机变量 ${X}_{i}$ 为第 $i$ 次抽样时，抽到次品的概率为1，抽到正品的概率为0。由于抽样是有放回的，每次抽样的结果是独立的。
步骤 2：计算单次抽样概率
每次抽样时，抽到次品的概率为 $\dfrac{M}{N}$，抽到正品的概率为 $\dfrac{N-M}{N}$。
步骤 3：计算联合分布律
由于每次抽样是独立的，所以联合分布律为各次抽样概率的乘积。设在 $n$ 次抽样中有 $k$ 次抽到次品，那么有 $n-k$ 次抽到正品。因此，联合分布律为：
$$P\{ {X}_{1}={x}_{1}, {X}_{2}={x}_{2}, \cdots, {X}_{n}={x}_{n}\} = \left(\dfrac{M}{N}\right)^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}} \left(\dfrac{N-M}{N}\right)^{n-\sum_{i=1}^{n}x_{i}}$$
其中，$\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ 表示在 $n$ 次抽样中有多少次抽到次品。