题目
关于数列 {x)_(n)} , {y)_(n)} 有以下论断 1若数列 {x)_(n)} , {y)_(n)} 和 {x)_(n)} , {y)_(n)} 都收敛,则数列 {x)_(n)} , {y)_(n)} 收敛; 2若数列 {x)_(n)} , {y)_(n)} 和 {x)_(n)} , {y)_(n)} 都收敛,则数列 {x)_(n)} , {y)_(n)} 均收敛; 3若数列 {x)_(n)} , {y)_(n)} 都发散,则数列 {x)_(n)} , {y)_(n)} 可能收敛; 4若数列 {x)_(n)} , {y)_(n)} 收敛,则数列 {x)_(n)} , {y)_(n)} 必有一个收敛.以上结论正确的个数为(A) 1. (B) 2 (C) 3. (D) 4
关于数列
有以下论断
1若数列
和
都收敛,则数列
收敛;
2若数列
和
都收敛,则数列均收敛;
3若数列都发散,则数列可能收敛;
4若数列
收敛,则数列必有一个收敛.
以上结论正确的个数为
(A) 1. (B) 2 (C) 3. (D) 4
题目解答
答案
本题考查数列的收敛
对于论断1：
考虑数列的奇数项和偶数项分别收敛于不同的值。例如，设
，
，则数列收敛于1，数列收敛于-1。但显然，整个数列并不收敛。因此，论断1是错误的。
对于论断2：
设数列收敛于A，数列收敛于B。
根据数列极限的性质，有：
因此，数列和
都收敛。论断2是正确的。
对于论断3：
考虑两个发散数列的例子，如
和
。则
因此，论断3是正确的。
对于论断4：
考虑反例：设
（发散），
（发散）。则
（常数数列，收敛于1）。因此，论断4是错误的。
综上所述，论断1和论断4是错误的，论断2和论断3是正确的。因此，正确的结论个数为2。
故选B。
解析
步骤 1：分析论断1
考虑数列$\{ {x}_{n}\} $的奇数项和偶数项分别收敛于不同的值。例如，设${x}_{2n-1}=1$，${x}_{2n}=-1$，则数列$\{ {x}_{2n-1}\} $收敛于1，数列$\{ {x}_{2n}\} $收敛于-1。但显然，整个数列$\{ {x}_{n}\} $并不收敛。因此，论断1是错误的。
步骤 2：分析论断2
设数列$\{ {x}_{n}+{y}_{n}\} $收敛于A，数列$\{ {x}_{n}-{y}_{n}\} $收敛于B。
根据数列极限的性质，有：
$\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {({x}_{n}+{y}_{n})+({x}_{n}-{y}_{n})}{2}=\dfrac {A+B}{2}$
$\lim _{n\rightarrow \infty }{y}_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {({x}_{n}+{y}_{n})-({x}_{n}-{y}_{n})}{2}=\dfrac {A-B}{2}$
因此，数列$\{ {x}_{n}\} $和$\{ {y}_{n}\} $都收敛。论断2是正确的。
步骤 3：分析论断3
考虑两个发散数列的例子，如${x}_{n}=n$和${y}_{n}=-n$。则${x}_{n}+{y}_{n}=0$，因此，论断3是正确的。
步骤 4：分析论断4
考虑反例：设${x}_{n}={(-1)}^{n}$（发散），${y}_{n}={(-1)}^{n}$（发散）。则${x}_{n}{y}_{n}={(-1)}^{2n}\cdot 1=1$（常数数列，收敛于1）。因此，论断4是错误的。
考虑数列$\{ {x}_{n}\} $的奇数项和偶数项分别收敛于不同的值。例如，设${x}_{2n-1}=1$，${x}_{2n}=-1$，则数列$\{ {x}_{2n-1}\} $收敛于1，数列$\{ {x}_{2n}\} $收敛于-1。但显然，整个数列$\{ {x}_{n}\} $并不收敛。因此，论断1是错误的。
步骤 2：分析论断2
设数列$\{ {x}_{n}+{y}_{n}\} $收敛于A，数列$\{ {x}_{n}-{y}_{n}\} $收敛于B。
根据数列极限的性质，有：
$\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {({x}_{n}+{y}_{n})+({x}_{n}-{y}_{n})}{2}=\dfrac {A+B}{2}$
$\lim _{n\rightarrow \infty }{y}_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {({x}_{n}+{y}_{n})-({x}_{n}-{y}_{n})}{2}=\dfrac {A-B}{2}$
因此，数列$\{ {x}_{n}\} $和$\{ {y}_{n}\} $都收敛。论断2是正确的。
步骤 3：分析论断3
考虑两个发散数列的例子，如${x}_{n}=n$和${y}_{n}=-n$。则${x}_{n}+{y}_{n}=0$，因此，论断3是正确的。
步骤 4：分析论断4
考虑反例：设${x}_{n}={(-1)}^{n}$（发散），${y}_{n}={(-1)}^{n}$（发散）。则${x}_{n}{y}_{n}={(-1)}^{2n}\cdot 1=1$（常数数列，收敛于1）。因此，论断4是错误的。