2.最小化平均绝对离差与最小化平均绝对下半离差 ( )A. 一定等价B. 一定不等价

考查要点：本题主要考查对平均绝对离差（MAD）和平均绝对下半离差（LSAD）的理解，以及两者在最小化过程中的关系。

核心思路：

• 平均绝对离差（MAD）的最小化点是数据的中位数，因为中位数能平衡数据上下两侧的离差。
• 平均绝对下半离差（LSAD）仅考虑数据点低于某点时的离差。虽然单独最小化LSAD可能指向其他位置，但当数据对称或中位数存在时，LSAD在中位数处达到最小。
• 由于中位数同时使MAD最小，且此时LSAD与上半离差相等，两者最小化过程等价。

破题关键：
理解中位数的特性——平衡上下离差，是解题的核心。即使LSAD仅关注下半部分，中位数仍能保证整体离差最小，从而两者等价。

平均绝对离差（MAD）定义为：
$\text{MAD}(\theta) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i - \theta|$
其最小化点为数据的中位数。

平均绝对下半离差（LSAD）定义为：
$\text{LSAD}(\theta) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \max(\theta - x_i, 0)$
单独最小化LSAD时，可能指向中位数或其他位置。然而，当θ为中位数时，LSAD与上半离差相等，此时总离差（MAD）最小。因此，最小化MAD的过程必然使LSAD最小，两者等价。