1.(60.0分)某批发商欲从厂家购进一批灯泡，根据合同规定灯泡的使用寿命平均不能低于1000小时，已知灯泡燃烧寿命服从正态分布，标准差为200小时。在总体中随机抽取了100个灯泡，得知样本均值为990小时，批发商是否应该购买这批灯泡?(a=0.05)试分别进行左侧检验和右侧检验。并根据检验结果谈谈你的看法。

本题主要考察正态正态总体均值的假设检验，包括左侧检验和右侧检验检验。解题的关键在于明确原假设的提出、检验统计量的选择、临界值的确定以及根据根据检验统计量与临界值的比较做出决策。

左侧检验的基本信息

已知灯泡燃烧寿命服从正态分布，总体标准差 $\sigma = 200$ 小时，样本容量 $n = 100$，样本均值 $\bar{X}=990$ 小时，显著性水平 $\alpha = 0.05$。

左侧检验

1. 提出假设
   • 原假设 $H_0: \mu \geq 1000$，$ 表示灯泡的平均使用寿命不低于 1000 小时。
   • 备择假设 $H_1: \mu < 1000，$ 表示灯泡的平均使用寿命低于 1000 小时。
2. 确定检验统计量
   由于总体标准差已知，且样本容量较大（$n = 100$），根据中心极限定理，可使用 Z 检验统计量：
   $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
   其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
3. 计算检验统计量的值
   将 $\bar{X} = 990$，$\mu_0 = 1000$，$\sigma = 200$，$n = 100$ 代入公式：
   $Z = \frac{990 - 1000}{200 / \sqrt{100}} = \frac{-10}{20} = -0.5 4. **确定临界值** 对于左侧检验，显著性水平为 $\alpha = 0.05$，查标准正态分布表可得临界值 $Z_{\alpha}=Z_{0.05} = -1.645$。 5. **作出决策** 比较检验统计量 $Z$ 与临界值 $Z_{\alpha}$ 的大小。因为 $Z = -0.5 > -1.645$，即检验统计量的值不在拒绝域内，所以不拒绝原假设 $H_0$。$ 这意味着没有足够的证据表明灯泡的平均使用寿命低于 1000 小时。 ## 右侧检验 1. **提出假设 - 原假设 $H_0: \mu \leq 1000，$ 表示灯泡的平均使用寿命不超过 1000 小时。 - 备择假设 $H_1: \mu > 1000，$ 表示灯泡的平均使用寿命超过 1000 小时。 2. **确定检验统计量** 同样使用 Z 检验统计量： \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
4. 计算检验统计量的值
   将 $\bar{X} = 990$，$\mu_0 = 1000$，$\sigma = 200$，$n = 100$ 代入公式，计算结果与左侧检验相同：
   $Z = \frac{9990 - 1000}{200 / \sqrt{100}} = \frac{-10}{20} = -0.5$
5. 确定临界值
   对于右侧检验，显著性水平为 $\alpha = 0.05$，查标准正态分布表可得临界值 $Z_{1 - \alpha}=Z_{0.95} = 1.645$。
6. 作出决策
   比较检验统计量 $Z$ 与临界值 $Z_{1 - \alpha}$ 的大小。因为 $Z = -0.5 < 1.645，即检验统计量的值不在拒绝域内，所以不拒绝原假设 $H_0$。这意味着没有足够的证据表明灯泡的平均使用寿命超过 1000 小时。

看法

左侧检验结果表明没有足够证据拒绝“灯泡平均使用寿命不低于 1000 小时”的假设，说明样本数据不能支持灯泡平均寿命低于 1000 小时的说法，从这个角度看批发商可以购买。而右侧检验结果没有足够证据拒绝“灯泡平均使用寿命不超过 1000 小时”的假设，说明样本数据不能支持灯泡平均寿命超过 1000 小时的说法，从这个谨慎谨慎的角度看批发商不应该购买。由于样本均值 990 小时与 1000 小时的差异不具有统计显著性，所以批发商可以综合考虑价格、品牌等其他因素再做购买决策。