题目
本题设某次考试全体学生的成绩近似服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。试解决以下两个问题:(1)给出这次考试学生平均分的置信度为95%的置信区间。(2)在显著性水平=0.05下,是否可以认为这次考试全体学生的平均成绩为70分。
本题设某次考试全体学生的成绩近似服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。
试解决以下两个问题:
(1)给出这次考试学生平均分
的置信度为95%的置信区间。
(2)在显著性水平
=0.05下,是否可以认为这次考试全体学生的平均成绩为70分。
题目解答
答案
解：由题可得
由于总体方差未知，故采用t统计量作为检验统计量则
。
（1）已知置信度为95%，则
，查t分布表得
，则置信度为95%的置信区间为
，代入数据得
，即
。
（2）做出假设
计算出检验统计量
，可知
，故不拒绝原假设，即接受原假设，因此在显著性水平=0.05下,可以认为这次考试全体学生的平均成绩为70分。
解析
步骤 1：确定已知条件
已知条件为：样本容量 $n=36$，样本均值 $\overline{X}=66.5$，样本标准差 $S=15$。由于总体方差未知，故采用t统计量作为检验统计量，即 $T=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$。
步骤 2：计算置信区间
置信度为95%，则 $\alpha=0.05$，查t分布表得 $t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.975}(35)=2.030108$。置信度为95%的置信区间为 $\overline{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt{n}}$ 到 $\overline{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt{n}}$。代入数据得 $66.5-2.030108\dfrac{15}{\sqrt{36}}$ 到 $66.5+2.030108\dfrac{15}{\sqrt{36}}$，即 $61.42473$ 到 $71.57527$。
步骤 3：进行假设检验
假设 ${H}_{0}:\mu=70$，${H}_{1}:\mu\neq70$。计算检验统计量 $T=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}=\dfrac{66.5-70}{\dfrac{15}{\sqrt{36}}}=-1.4$。由于 $|T|=1.4
已知条件为：样本容量 $n=36$，样本均值 $\overline{X}=66.5$，样本标准差 $S=15$。由于总体方差未知，故采用t统计量作为检验统计量，即 $T=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$。
步骤 2：计算置信区间
置信度为95%，则 $\alpha=0.05$，查t分布表得 $t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.975}(35)=2.030108$。置信度为95%的置信区间为 $\overline{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt{n}}$ 到 $\overline{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt{n}}$。代入数据得 $66.5-2.030108\dfrac{15}{\sqrt{36}}$ 到 $66.5+2.030108\dfrac{15}{\sqrt{36}}$，即 $61.42473$ 到 $71.57527$。
步骤 3：进行假设检验
假设 ${H}_{0}:\mu=70$，${H}_{1}:\mu\neq70$。计算检验统计量 $T=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}=\dfrac{66.5-70}{\dfrac{15}{\sqrt{36}}}=-1.4$。由于 $|T|=1.4