18.设X_(1),X_(2),... X_(8)是来自正态总体Xsim N(0,9)的样本，证明：(X_(1)+X_(2)+X_(3)+X_(4))/(sqrt(X_(5)^2)+X_{6^2+X_{7)^2+X_(8)^2}}sim t(4).

为了证明 $\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{\sqrt{X_{5}^{2}+X_{6}^{2}+X_{7}^{2}+X_{8}^{2}}}\sim t(4)$，我们需要使用 $t$-分布的定义。一个随机变量 $T$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$-分布，如果它可以表示为 $T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}}$，其中 $Z$ 是标准正态随机变量，$V$ 是自由度为 $n$ 的卡方随机变量，且 $Z$ 和 $V$ 相互独立。 让我们逐步分析给定的表达式。 1. **识别分子 $X_1 + X_2 + X_3 + X_4$:** - 由于 $X_i \sim N(0, 9)$ 对于 $i = 1, 2, 3, 4$，和 $X_1 + X_2 + X_3 + X_4$ 服从正态分布，均值为 $0$，方差为 $4 \times 9 = 36$。 - 因此，$\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{6} \sim N(0, 1)$。设 $Z = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{6}$。那么 $Z$ 是标准正态随机变量。 2. **识别分母 $\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}$:** - 由于 $X_i \sim N(0, 9)$ 对于 $i = 5, 6, 7, 8$，$\left(\frac{X_i}{3}\right)^2 \sim \chi^2(1)$（因为 $\frac{X_i}{3} \sim N(0, 1)$）。 - 因此，$\frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9} \sim \chi^2(4)$。设 $V = \frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9}$。那么 $V$ 是自由度为 4 的卡方随机变量。 - 因此，$\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2} = 3\sqrt{V}$。 3. **结合分子和分母:** - 给定的表达式是 $\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}} = \frac{6Z}{3\sqrt{V}} = \frac{2Z}{\sqrt{V}} = \frac{Z}{\sqrt{V/4}}$。 - 根据 $t$-分布的定义，$\frac{Z}{\sqrt{V/4}}$ 服从自由度为 4 的 $t$-分布。 因此，我们证明了 $\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{\sqrt{X_{5}^{2}+X_{6}^{2}+X_{7}^{2}+X_{8}^{2}}}\sim t(4)$。 最终答案是 $\boxed{t(4)}$。