题目

18.设X_(1),X_(2),... X_(8)是来自正态总体Xsim N(0,9)的样本，证明：(X_(1)+X_(2)+X_(3)+X_(4))/(sqrt(X_(5)^2)+X_{6^2+X_{7)^2+X_(8)^2}}sim t(4).

18.设$X_{1},X_{2},\cdots X_{8}$是来自正态总体$X\sim N(0,9)$的样本，证明：$\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{\sqrt{X_{5}^{2}+X_{6}^{2}+X_{7}^{2}+X_{8}^{2}}}\sim t(4).$

题目解答

答案

为了证明 $\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{\sqrt{X_{5}^{2}+X_{6}^{2}+X_{7}^{2}+X_{8}^{2}}}\sim t(4)$，我们需要使用 $t$-分布的定义。一个随机变量 $T$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$-分布，如果它可以表示为 $T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}}$，其中 $Z$ 是标准正态随机变量，$V$ 是自由度为 $n$ 的卡方随机变量，且 $Z$ 和 $V$ 相互独立。 让我们逐步分析给定的表达式。 1. **识别分子 $X_1 + X_2 + X_3 + X_4$:** - 由于 $X_i \sim N(0, 9)$ 对于 $i = 1, 2, 3, 4$，和 $X_1 + X_2 + X_3 + X_4$ 服从正态分布，均值为 $0$，方差为 $4 \times 9 = 36$。 - 因此，$\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{6} \sim N(0, 1)$。设 $Z = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{6}$。那么 $Z$ 是标准正态随机变量。 2. **识别分母 $\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}$:** - 由于 $X_i \sim N(0, 9)$ 对于 $i = 5, 6, 7, 8$，$\left(\frac{X_i}{3}\right)^2 \sim \chi^2(1)$（因为 $\frac{X_i}{3} \sim N(0, 1)$）。 - 因此，$\frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9} \sim \chi^2(4)$。设 $V = \frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9}$。那么 $V$ 是自由度为 4 的卡方随机变量。 - 因此，$\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2} = 3\sqrt{V}$。 3. **结合分子和分母:** - 给定的表达式是 $\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}} = \frac{6Z}{3\sqrt{V}} = \frac{2Z}{\sqrt{V}} = \frac{Z}{\sqrt{V/4}}$。 - 根据 $t$-分布的定义，$\frac{Z}{\sqrt{V/4}}$ 服从自由度为 4 的 $t$-分布。 因此，我们证明了 $\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{\sqrt{X_{5}^{2}+X_{6}^{2}+X_{7}^{2}+X_{8}^{2}}}\sim t(4)$。 最终答案是 $\boxed{t(4)}$。

解析

本题考查正态分布、卡方分布以及$t$分布的性质和定义，解题的关键在于将给定的表达式转化为符合$t$分布定义的形式。

  1. 分析分子$X_1 + X_2 + X_3 + X_4$：
    • 已知$X_{i}\sim N(0,9)$，$i = 1,2,3,4$。根据正态分布的性质，若$X_{i}$相互独立且都服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，那么它们的和$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$服从正态分布$N(n\mu,n\sigma^{2})$。
    • 对于$X_1 + X_2 + X_3 + X_4$，这里$n = 4$，$\mu = 0$，$\sigma^{2}=9$，所以$X_1 + X_2 + X_3 + X_4\sim N(4\times0,4\times9)=N(0,36)$。
    • 为了得到标准正态分布，对$X_1 + X_2 + X_3 + X_4$进行标准化处理，令$Z=\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{36}}=\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{6}$，则$Z\sim N(0,1)$，即$Z$是标准正态随机变量。
  2. 分析分母$\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}$：
    • 已知$X_{i}\sim N(0,9)$，$i = 5,6,7,8$，那么$\frac{X_{i}}{3}\sim N(0,1)$。
    • 根据卡方分布的定义，若$Z\sim N(0,1)$，则$Z^{2}\sim\chi^{2}(1)$。所以$(\frac{X_{i}}{3})^{2}\sim\chi^{2}(1)$，$i = 5,6,7,8$。
    • 又因为卡方分布具有可加性，即若$Y_1\sim\chi^{2}(n_1)$，$Y_2\sim\chi^{2}(n_2)$，且$Y_1$与$Y_2$相互独立，则$Y_1 + Y_2\sim\chi^{2}(n_1 + n_2)$。
    • 对于$\frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9}=\sum_{i = 5}^{8}(\frac{X_{i}}{3})^{2}$，这里$n_1=n_2=n_3=n_4 = 1$，所以$\frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9}\sim\chi^{2}(1 + 1+1 + 1)=\chi^{2}(4)$。
    • 令$V=\frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9}$，则$V$是自由度为$4$的卡方随机变量，且$\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}=3\sqrt{V}$。
  3. 将分子分母结合：
    • 原表达式$\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}}$，将$X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = 6Z$和$\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}=3\sqrt{V}$代入可得：
      $\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}}=\frac{6Z}{3\sqrt{V}}=\frac{2Z}{\sqrt{V}}=\frac{Z}{\sqrt{V/4}}$。
    • 根据$t$分布的定义，若$Z$是标准正态随机变量，$V$是自由度为$n$的卡方随机变量，且$Z$与$V$相互独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{V/n}}\sim t(n)$。
    • 在这里$n = 4$，$Z$和$V$分别是前面所求的标准正态随机变量和自由度为$4$的卡方随机变量，且由于$X_1,X_2,\cdots,X_8$相互独立，所以$Z$和$V$相互独立，因此$\frac{Z}{\sqrt{V/4}}\sim t(4)$，即$\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}}\sim t(4)$。