设随机变量X的概率密度为f(x)，则下列函数中是概率密度的是（）。A. f(2x)B. f^2(x)C. 2xf(x^2)D. 3x^2f(x^3)

概率密度函数需要满足两个核心条件：

1. 非负性：对任意实数$x$，$f(x) \geq 0$；
2. 归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。

本题通过构造不同形式的函数，考查对这两个条件的理解。解题关键在于：

• 变量替换法验证归一性；
• 符号分析判断非负性。

选项分析

选项A：$f(2x)$

• 归一性验证：令$u = 2x$，则$dx = \frac{du}{2}$，积分变为：
  $\int_{-\infty}^{+\infty} f(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \, du = \frac{1}{2} \neq 1$
  不满足归一性。

选项B：$f^2(x)$

• 非负性：平方运算保证$f^2(x) \geq 0$；
• 归一性验证：若$f(x)$是概率密度，则$\int f^2(x) \, dx \leq \int f(x) \, dx = 1$（由柯西-施瓦茨不等式），但一般情况下积分不等于1。不满足归一性。

选项C：$2x f(x^2)$

• 非负性分析：当$x < 0$时，$2x < 0$，而$x^2 > 0$，若$f(x^2) > 0$，则整体为负数。不满足非负性。

选项D：$3x^2 f(x^3)$

• 非负性分析：$3x^2 \geq 0$，且$f(x^3)$在$x^3$处取值，若$f(x)$本身非负，则整体非负；
• 归一性验证：令$u = x^3$，则$du = 3x^2 dx$，积分变为：
  $\int_{-\infty}^{+\infty} 3x^2 f(x^3) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \, du = 1$
  满足归一性。